Was bedeutet der Feynman-Propagator für den angetriebenen harmonischen Quantenoszillator?

Stellen Sie sich einen harmonischen Quantenoszillator vor, der für eine endliche Zeit von einer Kraft angetrieben wird J ( T ) , und arbeiten ganz im Heisenberg-Bild. Dann können wir die „in“- und „out“-Vakua definieren

| 0 In ⟩ , | 0 aus ⟩
die Grundzustände des Hamiltonoperators zu frühen und späten Zeiten sein. Im Schrödinger-Bild entspricht das „Ein“-Vakuum einem Zustand im üblichen QHO-Grundzustand vor Beginn der Fahrt, während das „Aus“-Vakuum einem Zustand entspricht, der in diesem Zustand endet, wenn die Fahrt endet.

In dem Buch von Mukhanov und Winitzki wird die Funktion des verzögerten Grüns als ein Matrixelement zwischen 'in'-Zuständen definiert,

⟨ 0 In | Q ^ ( T ) | 0 In ⟩ = ∫ J ( T ' ) G ret ( T , T ' ) D T ' , G ret ( T , T ' ) = Sünde ⁡ ω ( T − T ' ) ω θ ( T − T ' ) .
Dies macht durchaus Sinn, halbklassisch zu denken, wie ⟨ Q ^ ( T ) ⟩ ist nur die durchschnittliche Position des Teilchens, vorausgesetzt, es war in der fernen Vergangenheit in Ruhe; das ist im Grunde die Definition dessen, was ein verzögerter Propagator ist. In ähnlicher Weise kann man den erweiterten Propagator mit definieren | 0 aus ⟩ .

Schließlich definieren Mukhanov und Winitzki den Feynman-Propagator durch

⟨ 0 aus | Q ^ ( T ) | 0 In ⟩ ∝ ∫ J ( T ' ) G F ( T , T ' ) D T ' .
Nun, ich suche seit Jahren nach einem intuitiven Verständnis des Feynman-Vermehrers. Typische Erklärungen in der Quantenfeldtheorie sprechen von "negativen Energielösungen" und Antiteilchen (zB hier ), über die ich immer verwirrt war, da sie in der gewöhnlichen Quantenmechanik nicht existieren (wie ich hier gefragt habe ). Aber oben haben wir einen Feynman-Propagator für ein außergewöhnlich einfaches Nicht-QFT-System! Wenn es also überhaupt eine intuitive Erklärung gibt, ist sie hier, aber ich kann nicht ganz erkennen, was das Matrixelement physikalisch bedeutet.

Ich habe zwei Fragen: Erstens, wie entspricht dies der üblichen Definition des Feynman-Propagators, der eine bestimmte Konturwahl beinhaltet? Zweitens, gibt es intuitive Worte, die man um diese Definition drapieren kann? Bietet es zusätzliche physikalische Einblicke?

Ich finde die Frage nicht wirklich aussagekräftig. Feynman-Propagatoren sind nützliche Objekte, die in QFT eingeführt werden, weil sie dort natürlich zu verwenden sind (aufgrund der zeitlichen Reihenfolge). Wenn sie auch nützlich sind, um sie in QM einzuführen, warum nicht sie verwenden?
@Adam Wenn ich mich nur darum kümmern würde, ob Objekte für abstrakte Manipulationen nützlich sind, ohne jegliche physikalische Bedeutung, wäre ich Mathematiker geworden!
Was ich meine ist, dass ich Ihre Bemerkung, dass Feynman-Propagatoren in QM überraschend sind, nicht für sehr sinnvoll halte. Sie erscheinen jedes Mal, wenn Sie Operatoren und Zeitreihenfolge haben. Dies geschieht bereits in der QM, beispielsweise in einem Pfadintegralformalismus ⟨ Q ( T ) Q ( T ' ) ⟩ ist immer ein Feynman-Propagator, weil der Pfadintegralformalismus immer Zeitordnungsoperatoren ist. Ich bin mit dem Ein-Aus-Formalismus nicht vertraut genug, um leicht zu sehen, wie sie in diesem Fall eintreten.
@Adam Ich versuche, Korrelatoren außen vor zu lassen, weil ich für diese noch weniger Intuition habe. Es gibt keine Korrelatoren und keine zeitliche Reihenfolge in dieser Frage oder in meiner anderen Frage.
"Was ist die physikalische Bedeutung eines Erwartungswerts zwischen einem 'In'- und 'Out'-Zustand?" Gibt es einen Grund dafür, dass die Antwort darauf anders sein sollte als bei jeder anderen Amplitude eines Operators, der zwischen zwei Zuständen eingeklemmt ist – dh ungefähr die Kopplung zwischen den Zuständen aufgrund dieses Operators? Mit anderen Worten, unterscheidet sich Ihre Frage mit Ausnahme des verwendeten Operators wesentlich von solchen wie dieser: physical.stackexchange.com/questions/209350/… ?
@Rococo Sie können sagen, dass alles in QM nur eine Amplitude ist, aber die Funktion des verzögerten Grüns hat eine viel bessere physikalische Interpretation als das: So reagiert die Position der Masse, wenn Sie sie drücken, und erzeugt sie im Ruhezustand, genau wie der Klassiker Ausführung. Ich frage also, ob es eine ähnlich schöne Interpretation für die Funktion von Feynman Green gibt.
@knzhou Ich denke, ich sehe nicht viel von einer "besseren physikalischen Interpretation". Wenn die retardierte Green-Funktion, die zwischen zwei identischen Zuständen liegt, der Erwartungswert einer Position ist, dann wäre es meine naive Annahme, dass die Feynman-Green, die stattdessen zwei verschiedene Zustände verwendet, einer Kopplung im gleichen Sinne wie entspricht jedes Matrixelement außerhalb der Diagonale. Diese Erklärungen scheinen mir genau auf der gleichen „Güteebene“ zu liegen wie die physikalische Interpretation.
Vielleicht kommt jemand mit einer viel zufriedenstellenderen Antwort auf diese Frage, die diesen Kommentar töricht erscheinen lässt, aber wenn niemand dies tut, ist dies vielleicht Teil des Problems, da Ihr Gefühl einer zufriedenstellenden physikalischen Interpretation nicht unbedingt mit dem anderer übereinstimmt.
@Rococo Vielleicht hast du recht. Ich denke, ich würde mich mit einer klaren Erklärung begnügen, inwiefern diese Definition der üblichen Definition „Schließe die Kontur auf diese Weise“ entspricht, und vielleicht würde dieses Ergebnis ausreichen.
Liebe Knzhou. Ich denke, das ist eine großartige Frage. Ich glaube, ich kenne auch die Essenz der Antwort darauf, leider tue ich mich etwas schwer mit dem konkreten Beispiel, an das ich nicht gewöhnt bin. Also habe ich eine Ihrer verwandten Fragen beantwortet ( physics.stackexchange.com/questions/384126/… ). Hoffe das hilft, leider kein Bounty für mich ;-)

Antworten (2)

Sie haben mich motiviert, die schöne Entwicklung in Mukhanov zu lesen und ein wenig über dieses Thema nachzudenken. So habe ich es für mich rationalisiert:

Erstens, wie entspricht dies der üblichen Definition des Feynman-Propagators, der eine bestimmte Konturwahl beinhaltet?

Ich denke, Sie sollten die grundlegende Definition des Feynman-Propagators nicht als Propagator mit einer bestimmten Konturwahl betrachten, sondern als Propagator, der unter Austausch von Raumzeitkoordinaten symmetrisch ist. In diesem nulldimensionalen Kontext bedeutet das Austausch von T Und T ' . In der QFT-Sprache führt dies zu einer Struktur wie:

− ich ⟨ 0 | Θ ( T − T ' ) ψ ( T ) ψ ( T ' ) + Θ ( T ' − T ) ψ ( T ' ) ψ ( T ) | 0 ⟩
Während im Fall des angetriebenen Oszillators die Form lautet:
ich 2 ω ( e − ich ω ( T − T ' ) Θ ( T − T ' ) + e − ich ω ( T ' − T ) Θ ( T ' − T ) )

In beiden Fällen können Sie dies Fourier-transformieren und etwas mit einem Pol über und einem Pol unter dem Komplex erhalten ω Ebene, aus den beiden Heaviside-Funktionen. Aber da wir nach einer physikalischen Intuition suchen sollen, schlage ich vor, dass Sie dies als Folge der Forderung betrachten, dass der Propagator unter Zeitaustausch symmetrisch sein soll.

Zweitens, gibt es intuitive Worte, die man um diese Definition drapieren kann? Bietet es zusätzliche physikalische Einblicke?

Was die physikalische Interpretation angeht, denke ich, dass Sie einfach akzeptieren müssen, dass die Interpretation im Fall des Feynman-Vermehrers nicht so einfach sein wird wie bei dem verzögerten Vermehrer. Ihre Frage legt bereits fest, warum dies der Fall ist: Das eine ist ein Erwartungswert, der etwas ist, das klassisch erscheint und für das wir ein natürliches Gefühl haben, während das andere ein außerdiagonales Matrixelement ist. Die gute Nachricht ist, dass wir zu diesem Zeitpunkt in unserem Studium der Quantenmechanik beide genug davon gesehen haben, um zu verstehen, was sie bedeuten. Beispielsweise eine Amplitude der Form ⟨ 0 Ö u T | Q ^ | 0 ich N ⟩ ist in der Atomphysik als Dipoloperator bekannt . Grob gesagt stellt es den Grad dar, in dem die Staaten | 0 Ö u T ⟩ Und | 0 ich N ⟩ werden vom Betreiber gekoppelt J Q ^ . Zusammenfassend ist die beste Interpretation, die ich für den Feynman-Propagator in dieser Situation anbieten kann, die, dass es das Objekt ist, das Ihnen für einen bestimmten transienten Strom sagt, inwieweit der resultierende Ausgangszustand mit dem Anfangszustand gekoppelt ist . Es ist also eine besondere und rechnerisch wichtige Art zu charakterisieren, wie stark die Zustände durch die treibende Kraft verändert wurden. Da es selbst keine Beobachtungsgröße ist, ist mir nicht klar, ob es eine intuitivere Beschreibung geben sollte oder was sie beinhalten könnte.

die Analogie zum Dipoloperator ist erfreulich

Sie könnten versuchen, Kapitel 3 von Robert Klaubers nettem Einführungsbuch über QFT zu lesen. Dieses Kapitel kann kostenlos unter http://www.quantumfieldtheory.info/ heruntergeladen werden . Seine Perspektive ist, dass der Feynman-Propagator „als Darstellung eines virtuellen Teilchens visualisiert werden kann, das flüchtig existiert und Energie, Impuls und in einigen Fällen Ladung von einem realen Teilchen zum anderen überträgt. Somit ist es der Träger oder Vermittler von Kraft (Wechselwirkung.)“ Der Transit eines solchen virtuellen Teilchens von x nach y und der Transit eines virtuellen Antiteilchens von y nach x müssen beide berücksichtigt werden, um alle möglichen Arten der Wechselwirkung zweier physikalischer Teilchen zusammenzufassen. Genau das tut der Feynman-Propagator.

Was bedeutet der Feynman-Propagator für den angetriebenen harmonischen Quantenoszillator?
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