Berechnung der Greenschen Funktion der Wechselwirkungsfeldtheorie

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Berechnung der Greenschen Funktion der Wechselwirkungsfeldtheorie

Physik
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Feldtheorie
Greens-Funktionen
Quantenfeldtheorie

Thomas Russel

Ich ringe derzeit mit der Berechnung von Green-Funktionen in einer Wechselwirkungsfeldtheorie.

Wenn ich die Yukawa-Feldtheorie mit einem Skalar verwende $\phi$ Feld und ein Komplex $\psi$ Als einfaches Beispiel habe ich folgende Lagrange-Felder:

L = \frac{1}{2} (\partial_{μ} ϕ)^{2} - \frac{1}{2} M^{2} ϕ^{2} + \frac{1}{2} (\partial_{μ} ψ^{†}) (\partial^{μ} ψ) - \frac{1}{2} M^{2} ψ^{†} ψ - G ψ^{†} ψ ϕ

$\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_{\mu}\phi)^{2}-\frac{1}{2}M^{2}\phi^{2}+\frac{1}{2}(\partial_{\mu}\psi^{\dagger})(\partial^{\mu}\psi)-\frac{1}{2}m^{2}\psi^{\dagger}\psi-g\psi^{\dagger}\psi\phi$

Wenn ich eine Green-Funktion wie finden wollte:

G_{1}^{(3)} (X_{1}, X_{2}, X_{3}) = ⟨ Ω | T ϕ (X_{1}) ψ (X_{2}) ψ^{†} (X_{3}) | Ω ⟩ oder G_{2}^{(3)} (X_{1}, X_{2}, X_{3}) = ⟨ Ω | T ϕ (X_{1}) ψ^{†} (X_{2}) ψ^{†} (X_{3}) | Ω ⟩

$G_{1}^{(3)}(x_{1},x_{2},x_{3})=\langle\Omega|T\phi(x_{1})\psi(x_{2})\psi^{\dagger}(x_{3})|\Omega\rangle\quad\text{or}\quad G_{2}^{(3)}(x_{1},x_{2},x_{3})=\langle\Omega|T\phi(x_{1})\psi^{\dagger}(x_{2})\psi^{\dagger}(x_{3})|\Omega\rangle$

Ich kann dies mit einer Generierungsfunktion tun, $Z[J,\eta,\eta^{\dagger}]$ :

G_{1}^{(3)} (X_{1}, X_{2}, X_{3}) = \frac{1}{Z [0, 0, 0]} {\frac{δ^{3} Z}{δ J δ η δ η^{†}} |}_{J = η = η^{†} = 0}, G_{2}^{(3)} (X_{1}, X_{2}, X_{3}) = \frac{1}{Z [0, 0, 0]} {\frac{δ^{3} Z}{δ J δ η^{†} δ η^{†}} |}_{J = η = η^{†} = 0}

$G^{(3)}_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})=\frac{1}{Z[0,0,0]}\left.\frac{\delta^{3}Z}{\delta J\delta \eta\delta \eta^{\dagger}}\right|_{J=\eta=\eta^{\dagger}=0},\quad G_{2}^{(3)}(x_{1},x_{2},x_{3})=\frac{1}{Z[0,0,0]}\left.\frac{\delta^{3}Z}{\delta J\delta \eta^{\dagger}\delta \eta^{\dagger}}\right|_{J=\eta=\eta^{\dagger}=0}$

Ich bin mir jedoch nicht sicher, wie ich in diesem Fall die erzeugende Funktion ableiten soll. Alle Notizen, die ich finden kann, sprechen über die Ableitung einer erzeugenden Funktion für eine freie Skalarfeldtheorie.

Ich weiß, dass wir eine Greensche Funktion in Bezug auf die Summe aller verbundenen Graphen mit schreiben können $n$ externe Leitungen. In diesem Fall habe ich jedoch nicht die Feynman-Regeln und daher hilft mir das (glaube ich) nicht

Slereah

Nichtlineare Theorien haben keine Greensche Funktion, ich glaube, Sie meinen die n-Punkt-Korrelationsfunktion.

Thomas Russel

@Slereah Eine frühere Untersuchung, die ich für meinen Kurs gesehen habe, fragt tatsächlich nach einer "Dreipunkt-Green-Funktion, die den Zerfall beschreibt

ϕ \to ψ ψ^{†}

$\phi \to \psi\psi^{\dagger}$ ". Ich denke jedoch, dass sie das tatsächlich meinen

n

$n$ -Punkt-Korrelationsfunktion!

ACuriousMind

@Slereah Es ist eine Eigenart, dass einige Physiker leider dazu neigen, "Green-Funktion" und "Korrelationsfunktion" synonym zu verwenden.

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Berechnung der Greenschen Funktion der Wechselwirkungsfeldtheorie

Nichtlineare Theorien haben keine Greensche Funktion, ich glaube, Sie meinen die n-Punkt-Korrelationsfunktion.
@Slereah Eine frühere Untersuchung, die ich für meinen Kurs gesehen habe, fragt tatsächlich nach einer "Dreipunkt-Green-Funktion, die den Zerfall beschreibt $\phi \to \psi\psi^{\dagger}$ ". Ich denke jedoch, dass sie das tatsächlich meinen $n$ -Punkt-Korrelationsfunktion!
@Slereah Es ist eine Eigenart, dass einige Physiker leider dazu neigen, "Green-Funktion" und "Korrelationsfunktion" synonym zu verwenden.

Prof. Legolasov · Answer 1

Das erzeugende Funktional ist wie immer durch gegeben

Z [J, η, η^{†}] = \int D ϕ D ψ D ψ^{†} \exp [\frac{ich}{ℏ} \int D^{4} X (L (ϕ, ψ, ψ^{†}) + J ϕ + η^{†} ψ + ψ^{†} η)] =

$Z[J, \eta, \eta^{\dagger}] = \int \mathcal{D}\phi \mathcal{D} \psi \mathcal{D} \psi^{\dagger} \exp \left[ \frac{i}{\hbar} \int d^4 x \, \left( \mathcal{L}(\phi, \psi, \psi^{\dagger}) +J\phi + \eta^{\dagger}\psi + \psi^{\dagger}\eta\right)\right] =$

\exp [- \frac{ich G}{ℏ} \int D^{4} X \frac{δ}{δ J} \frac{δ}{δ η} \frac{δ}{δ η^{†}}] Z_{0} [J, η, η^{†}],

$\exp \left[ -\frac{i g}{\hbar} \int d^4 x \, \frac{\delta}{\delta J} \frac{\delta}{\delta \eta} \frac{\delta}{\delta \eta^{\dagger}} \right] \; Z_0[J, \eta, \eta^{\dagger}],$

Wo $Z_0$ ist das erzeugende Funktional der freien Theorie:

Z_{0} [J, η, η^{†}] = ℏ \int D^{4} X \int D^{4} j (\frac{1}{2} J (X) Δ_{M} (X, j) J (j) + η^{†} (X) Δ_{M} (X, j) η (j))

$Z_0[J, \eta, \eta^{\dagger}] = \hbar \int d^4 x \, \int d^4 y \, \left( \frac{1}{2} J(x) \Delta_M(x, y) J(y) + \eta^{\dagger}(x) \Delta_m(x, y) \eta(y) \right)$

mit $\Delta_m$ der Klein-Gordon-Propagator mit Masse $m$ .

Ihre Formel für Korrelationen (auch bekannt als Greens Funktionen der Interaktionstheorie) ist korrekt. Sie müssen das Exponential des Wechselwirkungsterms auf die entsprechende Ordnung in der Störungstheorie erweitern.

Rechnen Sie einfach nach und Sie kommen zu den richtigen Ausdrücken für Korrelationsfunktionen. Spoiler-Alarm: Der zweite verschwindet.

Übrigens müssen Sie die generierende Funktion nicht explizit schreiben, um Korrelationen zu berechnen. Es gibt einen einfacheren Weg: Beachten Sie zunächst, dass Sie Ausdrücke wie berechnen können

{⟨ F [ϕ, ψ, ψ^{†}] ⟩}_{0} = N_{0} \int D ϕ D ψ D ψ^{†} \exp [\frac{ich}{ℏ} \int D^{4} X L_{0} (ϕ, ψ, ψ^{†})] \cdot F [ϕ, ψ, ψ^{†}]

$\left< F[\phi, \psi, \psi^{\dagger}] \right>_0 = \mathcal{N}_0 \int\mathcal{D}\phi \mathcal{D}\psi \mathcal{D}\psi^{\dagger} \exp\left[ \frac{i}{\hbar} \int d^4 x \, \mathcal{L}_0(\phi, \psi, \psi^{\dagger}) \right] \cdot F[\phi, \psi, \psi^{\dagger}]$

Wo $F$ ist in Körpern mit Hilfe des Satzes von Wick polynomial. Beachten Sie auch die schematische Interpretation der Begriffe in der Wick-Erweiterung.

Dann definieren

⟨ F [ϕ, ψ, ψ^{†}] ⟩ = N \int D ϕ D ψ D ψ^{†} \exp [\frac{ich}{ℏ} \int D^{4} X L (ϕ, ψ, ψ^{†})] \cdot F [ϕ, ψ, ψ^{†}] =

$\left< F[\phi, \psi, \psi^{\dagger}] \right> = \mathcal{N} \int\mathcal{D}\phi \mathcal{D}\psi \mathcal{D}\psi^{\dagger} \exp\left[ \frac{i}{\hbar} \int d^4 x \, \mathcal{L}(\phi, \psi, \psi^{\dagger}) \right] \cdot F[\phi, \psi, \psi^{\dagger}] =$

\frac{N}{N_{0}} {⟨ F \cdot \exp [- \frac{ich G}{ℏ} \int D^{4} X ϕ ψ^{†} ψ] ⟩}_{0} .

$\frac{\mathcal{N}}{\mathcal{N}_0} \left< F \cdot \exp \left[ - \frac{i g}{\hbar} \int d^4 x \, \phi \psi^{\dagger} \psi \right] \right>_0.$

und Erweitern Sie das Exponential des Wechselwirkungsterms auf eine beliebige Reihenfolge (im Voraus angegeben). Sie gelangen zum Polynomausdruck (weil beide $F$ und die abgeschnittene Tailor-Reihe sind Polynome in $\phi$ , $\psi$ Und $\psi^{\dagger}$ ). Wir wissen bereits, wie man diese berechnet:

Die Erwartungsklammer für jede Ordnung in der Störungsreihe ist durch eine Summe von Termen gegeben. Jeder Term kann grafisch als Feynman-Diagramm dargestellt werden.

Die Erwartungsklammern sind per Definition so normiert, dass

{⟨ 1 ⟩}_{0} = ⟨ 1 ⟩ = 1,

$\left<1\right>_0 = \left<1\right> = 1,$

was bedeutet, dass $\mathcal{N}_0$ Und $\mathcal{N}$ sind miteinander verwandt. Es gibt ein sehr allgemeines Ergebnis, nämlich das Verhältnis $\mathcal{N} / \mathcal{N_0}$ entspricht dem Produkt aller Blasendiagramme (die ohne äußere Beine). Diese werden gut ausgeklammert und bieten eine bequeme Möglichkeit, Korrelationen zu berechnen:

Die geeignete Normalisierung kann durch einfaches Ignorieren von Graphen mit getrennten Blasen berücksichtigt werden.

Danke, das ist wirklich hilfreich; und ich vermute, es gilt auch für andere Feldtheorien? Ich vermutete, dass der zweite für alle Befehle verboten war!
@ThomasRussell Dies gilt tatsächlich für alle Felder. Für Antikommutierungsfelder können sogar Wegintegrale definiert werden, woraus sich das erzeugende Funktional für Fermionen ergibt.
Und diese Pfadintegrale sind vermutlich solche, die Grassmann-Zahlen verwenden?

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