Zusammenhang zwischen dem Verschwinden des konjugierten Impulses π0π0\pi^0 und der Nichtexistenz des Propagators für das freie EM-Feld

Eichtheorien werden zu beschränkten Hamilton-Systemen, wenn sie von der Lagrange-Funktion ausgehen$L(q,\dot{q},t)$zum Hamiltonian$H(q,p,t)$Wo$p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$. Im Allgemeinen erhalten Sie ein eingeschränktes Hamilton-System, wenn die Matrix / der Operator mit Komponenten ist

$$\frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}^i\partial\dot{q}^j}$$ ist singulär, dh nicht invertierbar, dh $\det(\frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}\partial\dot{q}}) = 0$. Wie Sie richtig beobachten, ist dies bereits bei einem massiven Vektorfeld der Fall.

Schauen wir uns also den Lagrange-Operator eines generischen Vektorfelds an:

$$L(A,\dot{A}) = \int (\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} + \mu^2 A^\mu A_\mu) \mathrm{d}^3x$$ Egal ob $\mu$, die kanonischen Impulse sind $$\pi^\mu = F^{\mu 0}$$ also haben wir die primäre Einschränkung ¹ $$\pi^0 \approx 0\tag{1}$$ stets. Der kanonische Hamiltonian lautet $$H = \int (\frac{1}{2}\pi^i\pi_i - \frac{1}{4} F^{ij}F_{ij} - A_0 \partial_i \pi^i -\mu^2 A^\mu A_\mu)\mathrm{d}^3 x$$ und für die Konsistenz der Beschränkung ziehen wir eine sekundäre Beschränkung hinzu $$\dot{\pi}^0 = \{\pi^0,H\} = \partial_i\pi^i + \mu^2 A_0 \approx 0 \tag{2}$$ Verwenden Sie dies als einzige Nicht-Null-Poisson-Klammer von $\pi_0$Ist $\{A_0,\pi^0\} = 1$. Die Natur der Theorie ist nun sehr unterschiedlich, je nachdem, ob oder nicht $\mu^2 = 0$.

Wenn$\mu^2\neq 0$, Dann$(2)$erlegt effektiv keine Beschränkung auf$\partial_i \pi^i$. Das Lösen der beiden Einschränkungen bedeutet nur Putten$A_0 = -\frac{1}{\mu^2}\partial_i\pi^i$Und$\pi^0 = 0$, was bedeutet, dass wir die Dimension des Phasenraums um zwei reduzieren (wobei wir effektiv vergessen, dass es ein Koordinatenpaar gab$(A_0, \pi^0)$) und sind in einer zwangsfreien Theorie. Auf diesem reduzierten Phasenraum kann die kanonische Quantisierung nun wie gewohnt ablaufen, und wir haben keine Eichfreiheitsgrade mehr übrig. Insbesondere die kanonische Quantisierung liefert einen Propagator, da der Operator auf den verbleibenden Freiheitsgraden invertierbar ist.

Wenn$\mu^2 = 0$, Dann$(2)$ist nur das Gesetz von Gauß$\nabla \cdot \vec E = 0$seit$\pi^i = F^{i0} = E^i$. Obwohl es im Prinzip möglich ist, diese Beschränkung lokal zu lösen und wieder zu einem reduzierten Phasenraum (mit geringerer Dimension als zuvor) überzugehen, ist dies in der Praxis nicht wirklich machbar oder wünschenswert. Daher ist eine kanonische Quantisierung wie bei uneingeschränkten Systemen nicht möglich, und wir erhalten keinen Propagator, wenn wir versuchen, einen zu berechnen, da Eichfreiheitsgrade übrig bleiben.

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^{1$\approx$bezeichnet schwache Gleichheiten, die auf der Zwangsfläche 10 gelten , aber nicht im gesamten Phasenraum identisch Null sind.}

Dies ist in der Tat das gleiche Problem, aus verschiedenen Blickwinkeln. Die tiefe Quelle des Problems ist, dass die Anzahl der$A_\mu$Felder ist höher als die tatsächlichen physikalischen Freiheitsgrade. Hier ein paar Anmerkungen:

1. Der Operator, den Sie invertieren möchten, hat keine Umkehrung, da er nur ein Projektionsoperator ist (Sie können dies durch direkte Berechnung überprüfen, das Quadrat des Operators ist der Einheitsoperator), er projiziert unphysikalische Freiheitsgrade weg.

2. Es ist intuitiv, dass es das Gewächshaus nicht ohne Messgerätebefestigung geben sollte, da es eine Reihe von Unterschieden gibt$A_\mu$Konfigurationen, die dem gleichen physikalischen Zustand entsprechen. Sobald Sie das Messgerät jedoch (vollständig) repariert haben, sollte der Propagator vorhanden sein, dh die zeitliche Entwicklung des freien Feldes sollte eindeutig sein.

3. $\Pi^0$existiert nicht, weil nicht jede Komponente der$A_\mu(x)$Vektorpotential entspricht einem physikalischen Freiheitsgrad. Trotzdem sind die Euler-Lagrange-Gleichungen von$A_0$erfüllt werden müssen, aber diese enthalten kein Derivat von$A_0$, sie sind keine dynamischen Gleichungen, sondern Zwangsbedingungen.

4. Sobald Sie ein Messgerät repariert haben, können Sie diese Einschränkung lösen und die tatsächlichen Freiheitsgrade für die Quantisierung verwenden. Zum Beispiel in axialer Spurweite$A_3=0$, dies ergibt eine neue Beschränkung. Die dynamischen Freiheitsgrade werden sein$A_1,A_2$Und$\Pi_1,\Pi_2$. Die anderen musst du durch diese ausdrücken, indem du die Constraints löst.

Dies ist nicht nur ein Problem mit der kanonischen Quantisierung, wenn Sie es mit der funktionalen integralen Quantisierung versuchen, stoßen Sie auf dasselbe Problem, und Sie müssen auch dort die Quage beheben.