Wie kann man verstehen, warum massive Felder mit der Entfernung exponentiell zerfallen?

Question

Wie kann man verstehen, warum massive Felder mit der Entfernung exponentiell zerfallen?

RC

Ich habe unzählige Male gelesen und gehört, dass ein Vektorfeld in der nichtabelschen Eichtheorie, das durch den Higgs-Mechanismus an Masse gewonnen hat, an Stärke exponentiell mit der Entfernung abnimmt, während es sich ausbreitet. Für eine kurze Erklärung der Vorgehensweise und des Ergebnisses und wenn möglich eine Referenz für eine gründliche Behandlung wäre ich dankbar.

Mein Versuch:

Ich hatte erwartet, Beweise für dieses Verhalten im massiven Vektorboson-Propagator zu finden, der in der Einheitseichweite geschrieben werden kann

\frac{G_{μ v} - k_{μ} k_{v} / M^{2}}{k^{2} - M^{2}} .

$\frac{g_{\mu \nu} - k_{\mu} k_{\nu}/m^2}{k^2-m^2}.$

Ich möchte, dass die Fourier-Transformation dies in den Positionsraum transformiert, also integriere ich das folgende Term für Term

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{G_{μ v} - k_{μ} k_{v} / M^{2}}{k^{2} - M^{2}} e^{2 π ich k_{μ} X^{μ}} D^{4} k .

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{g_{\mu \nu} - k_{\mu} k_{\nu}/m^2}{k^2-m^2} e^{2\pi i k_{\mu}x^{\mu}} d^4k.$

Ich muss drei Arten von Begriffen integrieren:

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{k^{2} - A^{2}} e^{2 π ich k X} D k

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{k^2-a^2} e^{2\pi i kx} dk$

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{k}{k^{2} - A^{2}} e^{2 π ich k X} D k

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{k}{k^2-a^2} e^{2\pi i kx} dk$

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{k^{2}}{k^{2} - A^{2}} e^{2 π ich k X} D k

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{k^2}{k^2-a^2} e^{2\pi i kx} dk$

Aber ich bekomme Divergenzen in diesen Integralen und bin mir nicht sicher, wohin ich als nächstes gehen soll.

ACuriousMind

Dies hat nichts mit der (nicht-Abelschen) Eichtheorie zu tun, Sie versuchen nur zu berechnen, dass die von einem massiven Vektorboson vermittelte Kraft ein Yukawa-Potential hat, und Sie scheinen nur zu fragen, wer diese Integrale lösen soll würde gemäß unserer Richtlinie für Hausaufgaben nicht zum Thema gehören .

RC

Mein Interesse gilt nicht speziell der Lösung der Integrale, sondern der Methode / dem Ansatz, den exponentiellen Abfall der massiven Komponenten des Eichfelds zu zeigen. Ich habe geschrieben, was ich bisher getan habe, um die Antwort über einen Ansatz zu suchen, um zu zeigen, dass ich über das Problem nachgedacht habe, aber ich würde gerne das allgemeine Prinzip verstehen. FWIW, das ist keine Hausaufgabe, ich studiere das Thema als Hintergrund und möchte den Ursprung des exponentiellen Zerfalls massiver Komponenten von Eichfeldern konzeptionell verstehen. Vielen Dank für Ihren Kommentar.

Antworten (1)

Wie kann man verstehen, warum massive Felder mit der Entfernung exponentiell zerfallen?

Dies hat nichts mit der (nicht-Abelschen) Eichtheorie zu tun, Sie versuchen nur zu berechnen, dass die von einem massiven Vektorboson vermittelte Kraft ein Yukawa-Potential hat, und Sie scheinen nur zu fragen, wer diese Integrale lösen soll würde gemäß unserer Richtlinie für Hausaufgaben nicht zum Thema gehören .
Mein Interesse gilt nicht speziell der Lösung der Integrale, sondern der Methode / dem Ansatz, den exponentiellen Abfall der massiven Komponenten des Eichfelds zu zeigen. Ich habe geschrieben, was ich bisher getan habe, um die Antwort über einen Ansatz zu suchen, um zu zeigen, dass ich über das Problem nachgedacht habe, aber ich würde gerne das allgemeine Prinzip verstehen. FWIW, das ist keine Hausaufgabe, ich studiere das Thema als Hintergrund und möchte den Ursprung des exponentiellen Zerfalls massiver Komponenten von Eichfeldern konzeptionell verstehen. Vielen Dank für Ihren Kommentar.

Benutzer2309840 · Answer 1

Mathematica wird ziemlich kurze Arbeit mit diesen Integralen machen. Oder sie können in einem Lehrbuch der Feldtheorie nachgeschlagen werden. Ich glaube zum Beispiel, dass die Fourier-Transformation von $1/(k^2+m^2)$ wird im Zusammenhang mit Skalarfeldern und der Klein-Gordon-Gleichung in den ersten Kapiteln von Peskin und Schroeder zumindest in einem Lorentzschen Rahmen diskutiert.

Warum die Fourier-Transformation dieses Propagators überhaupt mit dem Yukawa-Potential zusammenhängt, ist eine andere Frage. Wenn ich versuchen würde, es abzuleiten, würde ich den Austausch eines massiven Vektors auf Baumebene in der Feldtheorie berechnen. Dann würde ich versuchen herauszufinden, welches Potential in der Bornschen Näherung in der nichtrelativistischen Quantenmechanik zu derselben Streuung führen würde. Eine etwas andere Antwort ist hier .

Beginnen wir mit dem ersten Integral

ICH = \int D^{4} k \frac{e^{ich k \cdot X}}{k^{2} + M^{2}} .

$I = \int d^4k \frac{e^{i k\cdot x}}{k^2 + m^2} \ .$ Beachten Sie, dass ich das Vorzeichen von umgedreht habe

m^{2}

$m^2$ Begriff. Dies liegt daran, dass ich das Integral in der euklidischen Signatur ausführen möchte. Ich kann die anpassen

k

$k$ -Koordinatensystem damit

x

$x$ Punkte in der Polar- oder "

z

$z$ ''-Richtung. Ich kann dann den Maßfaktor in sphärische Koordinaten zerlegen

D^{4} k = k^{3} D k {Sünde}^{2} θ D θ D Ω_{2} .

$d^4 k = k^3 dk \, \sin^2 \theta d \theta \, d \Omega_2 \ .$ Das Letzte

d Ω_{2}

$d\Omega_2$ ist das Maß an

S^{2}

$S^2$ mit Einheitsradius. Da nichts von diesen Winkeln abhängt, werden sie sich integrieren, um zu geben

4 π

$4 \pi$ . Konzentrieren wir uns auf die

θ

$\theta$ Integral. Mathematica sagt es uns

\int_{0}^{π} e^{ich k X \cos θ} {Sünde}^{2} θ D θ = \frac{π}{k X} J_{1} (k X) .

$\int_0^\pi e^{i k x \cos \theta} \sin^2 \theta \, d \theta = \frac{\pi}{kx} J_1(kx) \ .$ Mathematica wird auch das Finale handhaben

k

$k$ -Integral

ICH = \frac{4 π^{2} M}{X} K_{1} (M X) .

$I = \frac{4 \pi^2 m}{x} K_1(m x) \ .$ Wenn wir die Bessel-K-Funktion für große Argumente erweitern, finden wir das gewünschte exponentielle Verhalten

ICH = e^{- M X} (π^{5 / 2} M^{1 / 2} {(\frac{2}{X})}^{3 / 2} + Ö (X^{- 2})) .

$I = e^{-m x} \left( \pi^{5/2} m^{1/2} \left(\frac{2}{x} \right)^{3/2} + O(x^{-2}) \right) \ .$

Ein Trick für die $k_\mu k_\nu$ Integral ist, dass es durch Nehmen erhalten werden kann $x$ Ableitungen des ersten Integrals. Dies ergibt jedoch insgesamt ein ähnliches exponentiell gedämpftes Verhalten $x$ .

Danke, das ist sehr hilfreich mit den Integralen. Können Sie den Anhang oder Abschnitt in Peskin und Schroeder genauer beschreiben, in dem der massive Vektorpropogator in der räumlichen Darstellung erörtert wird? Ich würde es begrüßen, wenn ich eine vollständige Diskussion in einem Lehrtext lesen könnte. Ich konnte weder in den sechs kurzen Anhängen von P&S noch in den Abschnitten 20.1 (Higgs-Mechanismus; nicht-abelsche Beispiele), Kapitel 21: Quantisierung spontan gebrochener Gauge-Theorien 21.1 eine Diskussion darüber finden/erkennen: $R_{\xi}$ Messgeräte, nicht-Abelsche Analyse oder 21.3: Vakuumpolarisationsamplituden.
Ich habe P&S gerade nicht dabei, und Sie haben wahrscheinlich Recht, wenn Sie darüber nachdenken, dass sie die Integrale in den Anhängen ohne das machen $e^{ikx}$ Faktor.
Könnten Sie eine Referenz auflisten, die sich ausführlich mit dem exponentiellen Verhalten des massiven Vektorfelds bei seiner Ausbreitung befasst (oder eine Stelle in P&S zitieren)? Wird dieses Verhalten normalerweise vom Propagator abgeleitet, wie Sie oben gezeigt haben, oder wird es normalerweise direkter von den Feldgleichungen selbst gezeigt? Vielen Dank im Voraus.
Der Standardtrick, den ich kenne, besteht darin, über einen Austauschprozess auf Baumebene in der Feldtheorie zwischen zwei geladenen Objekten nachzudenken, an dem das massive Vektorboson beteiligt ist. Dann fragt man sich für den entsprechenden Prozess in der nicht-relativistischen Quantenmechanik, welches Potential eine ähnliche Streuung mit der Born-Näherung erzeugen würde. Dieser Vergleich in führender Ordnung läuft darauf hinaus, eine Fourier-Transformation des Propagators zu nehmen. Für ein Photon wird diese Berechnung meines Erachtens in der relativistischen Quantenmechanik von Landau und Lifshitz diskutiert. Aber das Hinzufügen einer Masse zum Photon sollte die Dinge nicht viel ändern.

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