Die Funktion von Euclidian Green verstehen

Stellen Sie sich ein Skalarfeld vor, das mit einer Quelle gekoppelt ist

$$(\Box - m^2)\phi(x) = -J(x)\tag{1}.$$ Dann wird die Antwort der Quelle durch die Green-Funktion bestimmt $G(x-y)$, was befriedigt $$(\Box - m^2)G(x-y)=-\delta(x-y) \tag{2}.$$ In der euklidischen Signatur kann die Green-Funktion, die die Lösung der vorherigen Gleichung ist, als Fourier-Transformation geschrieben werden $$G(x-y)= \int \frac{d^dk}{(2\pi)^d} \frac {e^{ik\cdot(x-y)}}{k^2+m^2} \tag{3}.$$ Ich kann nicht verstehen, wie bei (3) die Lösung von (1) als Integral ausgedrückt werden kann $$\phi(x)=\int d^d y G(x-y)J(y)\tag{4}.$$

Meine Vermutung ist, dass man (1) nehmen und irgendwie handeln muss (4), aber im Moment sehe ich nicht, wie man zu (4) kommt. Ich würde etwas Hilfe schätzen.

PS Mein Hauptproblem ist die Tatsache, dass im folgenden Halbbeweis

$$\begin{align} (\Box-m^2)\phi &= (\Box - m^2)\int dy \, J(y) \phi_i(x-y) \\ &= \int dy \, J(y) {\color{red}{(\Box - m^2)}}\phi_i(x-y) \\ &= \int dy \, J(y) {\color{red}{\delta(x-y)}} \\ &= J(x) \end{align}$$ Ich verstehe nicht nur das Minuszeichen von (1) nicht, sondern ich verstehe auch nicht, warum wir die homogene Klein-Gordon-Gleichung verwenden, um die rote Delta-Funktion in einem Problem zu erhalten, wo wir mit der inhomogenen begonnen haben!