Lokale Eichinvarianz von Dirac Lagrangian

Question

Lokale Eichinvarianz von Dirac Lagrangian

Kamil

Lassen

L = ich ℏ C \bar{ψ} γ^{μ} \partial_{μ} ψ - M C^{2} \bar{ψ} ψ

$\mathcal{L} = i \hbar c \overline{\psi} \gamma^{\mu} \partial_{\mu} \psi - mc^2 \overline{\psi} \psi$ sei die Lagrange-Dichte für ein freies Dirac-Feld . Ich studiere Teilchenphysik aus dem Buch von Griffiths (Abschnitt 11.3. lokale Eichinvarianz).

Ich möchte die Eichtransformation anwenden

ψ \to e^{- ich Q λ (X) / ℏ C} ψ .

$\psi \rightarrow e^{-iq \lambda(x) / \hbar c} \psi.$ Dies wird die Lagrange-Invariante nicht verlassen, da wir einen zusätzlichen Term aufgreifen, weil

\partial_{μ} ψ \to e^{- ich Q λ (X) / ℏ C} [\partial_{μ} - \frac{ich Q}{ℏ C} (\partial_{μ} λ)] ψ .

$\partial_{\mu} \psi \rightarrow e^{-iq \lambda(x) / \hbar c} \bigg[ \partial_{\mu} - \frac{iq}{\hbar c} (\partial_{\mu} \lambda) \bigg] \psi.$

Jetzt sagt Griffiths, wenn wir in der Dirac-Lagrange-Funktion jede Ableitung ersetzen $\partial_{\mu}$ mit der kovarianten Ableitung

D_{μ} = \partial_{μ} + \frac{ich Q}{ℏ C} A_{μ}

$D_{\mu} = \partial_{\mu} + \frac{iq}{\hbar c} A_{\mu}$ Die Verwandlung

A_{μ} \to A_{μ} + \partial_{μ} λ

$A_{\mu} \rightarrow A_{\mu} + \partial_{\mu} \lambda$ löscht den störenden Term und lässt die Lagrange-Invariante unverändert. Jetzt wollte ich prüfen, ob das wirklich funktioniert, aber bei meinen abschließenden Berechnungen lande ich immer bei einem zusätzlichen Term. Ich habe

L^{^{'}} = ich ℏ C e^{ich Q λ / ℏ C} \bar{ψ} γ^{μ} (\partial_{μ} + \frac{ich Q}{ℏ C} A_{μ}) (e^{- ich Q λ / ℏ C} ψ) - M C^{2} \bar{ψ} ψ .

$\mathcal{L}^{'} = i \hbar c e^{iq \lambda / \hbar c} \overline{\psi} \gamma^{\mu} (\partial_{\mu} + \frac{iq}{\hbar c} A_{\mu}) \big( e^{-iq\lambda / \hbar c} \psi \big) - mc^2 \overline{\psi} \psi.$ Jetzt ersetze ich auch

A_{μ}

$A_{\mu}$ von

A_{μ} + \partial_{μ} λ

$A_{\mu} + \partial_{\mu} \lambda$ . Dann bekomme ich

L^{^{'}} = ich ℏ C e^{ich Q λ / ℏ C} \bar{ψ} γ^{μ} \partial_{μ} (e^{- ich Q λ / ℏ C} ψ) - Q e^{ich Q λ / ℏ C} \bar{ψ} γ^{μ} (A_{μ} + \partial_{μ} λ) (e^{- ich Q λ / ℏ C} ψ) - M C^{2} ψ \bar{ψ} .

$\mathcal{L}^{'} = i \hbar c e^{iq \lambda / \hbar c} \overline{\psi} \gamma^{\mu} \partial_{\mu} \bigg( e^{-iq\lambda / \hbar c} \psi \bigg) - q e^{iq \lambda / \hbar c} \overline{\psi} \gamma^{\mu} \big( A_{\mu} + \partial_{\mu} \lambda \big) \big( e^{-iq\lambda / \hbar c} \psi \big) - mc^2 \psi \overline{\psi}.$ Aber wenn ich das ausarbeite, lande ich bei

L^{^{'}} = ich ℏ C \bar{ψ} γ^{μ} (\partial_{μ} ψ) - M C^{2} \bar{ψ} ψ - Q \bar{ψ} γ^{μ} A_{μ} ψ .

$\mathcal{L}^{'} = i \hbar c \overline{\psi} \gamma^{\mu} (\partial_{\mu} \psi) - mc^2 \overline{\psi} \psi - q \overline{\psi} \gamma^{\mu} A_{\mu} \psi.$ Beachten Sie den zusätzlichen Begriff, der angezeigt wird. Habe ich hier etwas falsch gemacht? Würde mich über Hilfe freuen, weil ich das verstehen möchte.

Blazej

Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass if

D_{μ}^{'} = D_{μ} + i q \partial_{μ} θ

$D'_{\mu}=D_{\mu}+iq \partial_{\mu} \theta$ Und

ψ^{'} = e^{- i q θ}

$\psi' = e^{-iq \theta}$ Dann

D_{μ}^{'} ψ^{'} (x) = e^{- i q θ} D_{μ} ψ (x)

$D'_{\mu} \psi'(x)=e^{-iq \theta} D_{\mu} \psi(x)$ . Diese Gleichung besagt, dass die Ableitung

D

$D$ ist kovariant, dh der Eichsymmetrie entsprechende Phasenfaktoren gehen gerade durch.

Javier

Sie sollten nicht mit der ursprünglichen Lagrange-Funktion vergleichen, sondern mit der mit der kovarianten Ableitung. Mit anderen Worten, die

\bar{ψ} γ^{μ} A_{μ} ψ

$\bar{\psi}\gamma^\mu A_\mu \psi$ ist in Ordnung, es war vor dem Spurwechsel da.

Kamil

Also der Begriff

\bar{ψ} γ^{μ} A_{μ} ψ

$\overline{\psi} \gamma^{\mu} A_{\mu} \psi$ get automatisch zum neuen Dirac-Lagrangian hinzugefügt wird, der mit der kovarianten Ableitung darin?

Antworten (2)

Lokale Eichinvarianz von Dirac Lagrangian

Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass if $D'_{\mu}=D_{\mu}+iq \partial_{\mu} \theta$ Und $\psi' = e^{-iq \theta}$ Dann $D'_{\mu} \psi'(x)=e^{-iq \theta} D_{\mu} \psi(x)$ . Diese Gleichung besagt, dass die Ableitung $D$ ist kovariant, dh der Eichsymmetrie entsprechende Phasenfaktoren gehen gerade durch.
Sie sollten nicht mit der ursprünglichen Lagrange-Funktion vergleichen, sondern mit der mit der kovarianten Ableitung. Mit anderen Worten, die $\bar{\psi}\gamma^\mu A_\mu \psi$ ist in Ordnung, es war vor dem Spurwechsel da.
Also der Begriff $\overline{\psi} \gamma^{\mu} A_{\mu} \psi$ get automatisch zum neuen Dirac-Lagrangian hinzugefügt wird, der mit der kovarianten Ableitung darin?

frei · Answer 1

Du hast Griffiths falsch verstanden. Ersetzen

\partial_{μ} \to D_{μ}

$\partial_\mu \to D_\mu$ ist Teil eines Rezepts zur Herstellung einer eichinvarianten Lagrange-Funktion. Die nachfolgende Lagrange-Funktion ist invariant unter den Transformationen,

ψ \to e^{- ich Q λ (X)} ψ Und A_{μ} \to A_{μ} + \partial_{μ} λ

$\psi \rightarrow e^{-iq \lambda(x)} \psi \quad\text{and}\quad A_{\mu} \rightarrow A_{\mu} + \partial_{\mu} \lambda$ Der Ersatz

\partial_{μ} \to D_{μ}

$\partial_\mu \to D_\mu$ ist nicht Teil der Messgerättransformation.

Amara · Answer 2

Das alles macht Sinn, wenn man die Sprache der Faserbündel verwendet. Aber ich werde versuchen, es zu vermeiden und es in eine weniger technische Form zu übersetzen. Folgendes passiert: Sie haben eine Mannigfaltigkeit, an der Sie Physik betreiben. Aber im Allgemeinen haben Sie keine globalen Koordinaten, sondern Koordinatenfelder. Diese Koordinatenfelder könnten Bereiche haben, in denen sie sich schneiden, und daher sollte, wenn wir eine Transformation von einem Satz von Koordinaten zu einem anderen vornehmen, die Physik an der Überschneidung übereinstimmen. In diesem Fall bedeutet dies, dass sich die Lagrange-Funktion nicht ändern sollte. Wir ändern uns von einem Koordinatensatz mit einer gewissen Transformation. Die Transformation, die wir verwenden, um von einer Koordinate in eine andere zu transformieren, stammt aus der Lügengruppe $U(1)$ und erfolgt durch $\psi \rightarrow e^{iq\lambda(x)} \psi$ . Beginnen Sie nun mit dem folgenden Lagrangian:

L = ich ℏ C \bar{ψ} γ^{μ} \partial_{μ} ψ - M^{2} C^{2} \bar{ψ} ψ

$\mathcal{L} = i \hbar c \overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu} \psi -m^2 c^2 \overline{\psi}\psi$ Sie haben herausgefunden, dass die Physik nicht gleich geblieben ist, wenn Sie die Koordinaten geändert haben. Dies ist nicht akzeptabel, da die Physik nicht von Koordinatensystemen abhängig sein kann.

Was ist also schief gelaufen? Das Problem ist, dass unser Verteiler nicht lokal flach ist und tatsächlich eine gewisse Krümmung mit einer Regel für den parallelen Transport aufweist. Genau wie in GR gibt es eine Verbindung, die ändert, wie die partielle Ableitung in Ihrem Fall aussieht $\partial_{\mu} \rightarrow \partial_{\mu} - iq \partial_{\mu}(\lambda)$ Der zusätzliche Begriff ist das Analogon der Christoffel-Symbole.

Nun, im zweiten Teil der Übung hat Griffith Ihnen bereits die Lagrange-Funktion gegeben, die die kovariante Ableitung mit der richtigen Verbindung einer Form oder in der Physikersprache "Eichfeld" hat. Die Lagrange-Funktion wurde bereits modifiziert, um die Tatsache widerzuspiegeln, dass es eine Krümmung gibt. Auch das Eichfeld oder die Verbindung muss sich entsprechend transformieren, wenn wir die Koordinaten ändern. Es stellt sich heraus, dass die allgemeine Transformationsregel gilt $A'_{\mu} \rightarrow g A_{\mu}g^{-1} + g^{-1}dg$ wobei g ein Element in irgendeiner Gruppe ist. Für QED, womit Sie es zu tun haben $g = e^{i\lambda(x)} \in U(1)$ . Beachten Sie, wie es die richtige Transformationsregel für gibt $A_{\mu}$ Griffith hat dir gegeben. Was ich beschreibe, nennt man Eichinvarianz oder Eichsymmetrie, was ein wirklich schlechter Name für Koordinatentransformation ist.

Das Erstaunliche ist, dass mein Lagrangian, damit er auf einer Mannigfaltigkeit mit Krümmung koordinateninvariant ist, impliziert, dass er eine Kopplung des Fermions mit dem Photon beinhalten muss, daher der zusätzliche Term, den Sie erhalten haben $q\overline{\psi}\gamma^{\mu}A_{\mu} \psi$ .

Als letztes habe ich die Krümmung erwähnt, und Sie fragen sich vielleicht, was das Analogon zum Riemann-Tensor ist; es ist $F_{\mu \nu}$ . Ich habe viele Ecken geschnitten, aber ich hoffe, das macht Sinn.

In Ihrer Transformationsvorschrift für $A'_\mu$ , was ist $d$ ?
@CStarAlgebra die äußere Ableitung natürlich ( en.wikipedia.org/wiki/Exterior_derivative ). Dies ist eine gängige Schreibweise. In diesem Fall - nur eine ausgefallene Schreibweise $\partial_{\mu}$ .

Lokale Eichinvarianz von Dirac Lagrangian

Kamil

Blazej

Javier

Kamil

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