Ermitteln der Energie einer Lösung der Sine-Gordon-Gleichung

Ich vertiefe mich in die Quantenfeldtheorie und stecke fest bei dem Versuch, herauszufinden, wie man die Energie einer Solitonenlösung für die Sinus-Gordon-Gleichung in 1-1 Raumzeit berechnet.

Ich beginne mit der Lagrange-Dichte:

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_{t}\phi)^{2}-\frac{1}{2}(\partial_{x}\phi)^{2}-\frac{a}{b}[1-\cos(b\phi)]$$

Wo$a,b$sind beliebige Konstanten. Unter Verwendung dieser und der Euler-Lagrange-Gleichungen können wir sehen, dass die Bewegungsgleichung lautet:

$$\partial_{tt}\phi-\partial_{xx}\phi+a\sin(b\phi)=0$$

Dazu ist eine geeignete stationäre Lösung:

$$\phi(x) = \frac{4}{b}\arctan\left(\exp\left((ab)^{1/2}x\right)\right)$$

Ich möchte jedoch die Energie dieser Lösung herausarbeiten.

Ich dachte mir, dass ich den Hamiltonian berechnen und dann die Beziehung verwenden kann$\hat{H}\left|\phi\right\rangle = E\left|\phi\right\rangle$um die Energie der Lösung zu berechnen (von der mir mitgeteilt wird, dass sie die Form hat$E = ca^{1/2}$).

Den Hamilton-Operator kann ich aus der Hamilton-Dichte erhalten:

$$\hat{\mathcal{H}}(\phi)=\Pi^{0}\partial_{0}\phi-\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_{t}\phi)^{2} + \frac{1}{2}(\partial_{x}\phi)^{2} + \frac{a}{b}[1-\cos(b\phi)]$$

Deshalb:

$$\hat{H}\phi(x) = \int \hat{\mathcal{H}} \:\mathrm{d}x$$

Ab hier stecke ich jedoch fest!