Skalarfeld-Lagrangian in gekrümmter Raumzeit

Die korrekte Euler-Lagrange-Gleichung für Skalare in gekrümmter Raumzeit ist

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_{\mu}\left[\sqrt{-g}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{\mu}\phi\right)}\right],$$ wo die Lagrange-Dichte sein sollte $$\mathcal{L}=\frac{1}{2}g^{\mu\nu}\partial_{\mu}\phi\partial_{\nu}\phi-V\left(\phi\right)$$ und es enthält nicht die $\sqrt{-g}$Faktor. Beachten Sie, dass dies dasselbe ist wie $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=\nabla_{\mu}\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{\mu}\phi\right)}\right],$$ in Bezug auf die kovariante Ableitung, $\nabla_{\mu}$.

Die rechte Seite ist

$$\nabla_{\mu}\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{\mu}\phi\right)}\right] = \nabla_{\mu}\left(g^{\mu\nu}\partial_{\nu}\phi\right) = g^{\mu\nu}\nabla_{\mu}\left(\partial_{\nu}\phi\right) \equiv \Box\phi,$$ wobei die zweite Gleichheit wahr ist, weil die kovariante Ableitung, $\nabla_{\mu}$, kommutiert mit dem metrischen Tensor, $g^{\mu\nu}$. Die linke Seite ist $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=-\frac{\partial V\left(\phi\right)}{\partial\phi}.$$ Also die Bewegungsgleichung für ein Skalarfeld $\phi$in der gekrümmten Raumzeit ist $$\Box\phi=-\frac{\partial V\left(\phi\right)}{\partial\phi}.$$