Energie-Impuls-Tensor für Elektromagnetismus im gekrümmten Raum

Den Energie-Impuls-Tensor erhält man, indem man die Metrik variiert und alle anderen Felder konstant hält. Da klar

$$\frac{\partial F}{\partial g}=0\longleftrightarrow \delta_gF=0$$ wir enden mit $$\delta_g S=\frac{1}{2}\int\mathrm{d}v\,\left(F^2g_{\mu\nu}/4-F^\tau{}_\mu F_{\tau\nu}\right)\delta g^{\mu\nu}$$ und Vergleich mit $$\delta_gS:=\frac{1}{2}\int\mathrm{d}v\,T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$$ führt zum richtigen Ergebnis.

Beachten Sie, dass wir hier wirklich nur die Materie-Aktion variieren. Die vollständige allgemeine relativistische Wirkung enthält die Einstein-Hilbert-Gravitationswirkung, den kosmologischen Konstantenterm und einen Materieterm. Zusammen haben wir

$$S_\mathrm{GR}=S_\mathrm{EH}+S_\Lambda+S_\mathrm{M}$$ Die Variation davon verschwindet zwar bzgl. die Metrik, dh $\delta_g S_\mathrm{GR}=0$. Der Energie-Impuls-Tensor wird jedoch nur durch Untersuchen berechnet $\delta_g S_\text{M}$, die im Allgemeinen nicht Null ist.

Der Einstein-Hilbert-Lagrangian ist an eine Materiewirkung gekoppelt

$$S_m[\varphi,g] = \int d^Dx\, \sqrt{-g}\mathcal L_m(\varphi,\partial_\mu\varphi),$$ dh $$S[g,\varphi] = \frac{1}{16\pi G}\int d^Dx\,\sqrt{-g} R + \int d^Dx\,\sqrt{-g} \mathcal L_m(\varphi,\partial_\mu\varphi),$$ erfüllt $$\delta S=-\frac{1}{16\pi G} \int d^Dx\, \sqrt{-g} \mathcal E^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu} + \int d^Dx\, \sqrt{-g} \frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta\left( \sqrt{-g}\mathcal L_m\right)}{\delta g_{\mu\nu}}\delta g_{\mu\nu}$$ Wo $\mathcal E_{\mu\nu}$ist der Einstein-Tensor $R_{\mu\nu}-g_{\mu\nu}R/2$und daher definieren wir den Rosenfeld-Energie-Impuls-Tensor $$\boxed{ T^{\mu\nu} = \frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta\left( \sqrt{-g}\mathcal L_m\right)}{\delta g_{\mu\nu}}= \frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_m[\varphi, g]}{\delta g_{\mu\nu}}}$$ bekommen $$dS=-\frac{1}{16\pi G}\int d^Dx\,\sqrt{-g}\left(\mathcal E^{\mu\nu}- 8\pi G T^{\mu\nu} \right)\delta g_{\mu\nu}.$$ Die Wirkung eines masselosen Vektors $A_\mu$, Wo $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu=\nabla_\mu A_\nu-\nabla\nu A_\mu$, kann geschrieben werden als $$\begin{align*} S_m =&\ -\frac{1}{4}\int d^Dx\, \sqrt{-g}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = -\frac{1}{2} \int d^Dx\, \sqrt{-g} A_\mu \left(-g^{\mu\nu}\Box+\nabla^{\nu}\nabla^\mu\right)A_\nu. \end{align*}$$ Also die Bewegungsgleichungen für $A_\mu$Sind $$\left(-g^{\mu\nu}\Box+\nabla^{\nu}\nabla^\mu\right)A_\nu=0.$$ Der Energie-Impuls-Tensor lässt sich einfacher aus der ersten Form der Aktion ausdrücken: $$\delta S_m = - \frac{1}{4}\int d^Dx\, \frac{1}{2} \sqrt{-g} g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu} F_{\mu\nu}F_{\alpha\beta}g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta} +\frac{1}{2}\int d^Dx\, \sqrt{-g} F_{\mu\nu}F_{\alpha\beta}g^{\mu\alpha}g^{\nu\sigma} g^{\beta\tau}\delta g_{\sigma\tau}$$ aus denen $$\boxed{ T^{\mu\nu} = F^{\alpha\mu} F^{\beta\nu}g_{\alpha\beta}-\frac{1}{4}g^{\mu\nu}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma}}=F^{\alpha\mu} F^{\beta\nu}g_{\alpha\beta}+g^{\mu\nu} \mathcal L_m,$$ und die Einstein-Gleichungen $$R^{\mu\nu}-\frac{1}{2}g^{\mu\nu}R+\Lambda g^{\mu\nu} =8\pi G T^{\mu\nu}.$$