Hamiltonsche Dichte des klassischen Klein-Gordon-Feldes

Ich arbeite mich durch Abschnitt 2.2 von Peskin und Schroeder und versuche das zu zeigen$T^{00}$entspricht dem Ausdruck$\frac{1}{2}\pi^2-\frac{1}{2}(\nabla \phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2$in Gleichung (2.8), wie es nahelegt.

Aus$T^\mu_{\;\;\nu} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)}\partial_\nu - \mathcal{L}\delta^\mu_{\;\nu}$, Ich bekomme:

$\begin{equation} T^\mu_{\;\;\nu} = \frac{1}{2}\partial^\mu\phi\partial_\nu\phi - \mathcal{L}\delta^\mu_{\;\nu} \end{equation}$

und von dort:

$\begin{equation} T^{00} = T^0_{\;\;0} = \frac{1}{2}\partial^0\phi\partial_0\phi - \mathcal{L}\delta^0_{\;0} \end{equation} = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 - \frac{1}{2}[\partial_0\phi^2-\partial_1\phi^2-\partial_2\phi^2-\partial_3\phi^2] + \frac{1}{2}m^2\phi^2$

Es sieht so aus, als hätte ich ein Extra$-\frac{1}{2}\dot\phi^2$in meinem Ergebnis. Habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?