"Ableitung" der Lorenz-Eichbedingung aus der Lagrange-Funktion

Ich studiere QFT mit Mandl & Shaw, Quantenfeldtheorie, und bin auf Problem 2.3 (Seite 37 in der zweiten Ausgabe) gestoßen, in dem es heißt:

Aufgabe 2.3: Zeigen Sie, dass die Lagrange-Dichte

$$\mathscr{L} = -\frac{1}{2}\big[\partial_\alpha\phi_\beta(x)\big]\big[\partial^\alpha\phi^\beta(x)\big] + \frac{1}{2}\big[\partial_\alpha\phi^\alpha(x)\big]\big[\partial_\beta\phi^\beta(x)\big] + \frac{\mu^2}{2}\phi_\alpha(x)\phi^\alpha(x)$$

für das reelle Vektorfeld$\phi^\alpha(x)$führt zu den Feldgleichungen

$$\left[g_{\alpha\beta}\left(\Box+\mu^2\right) - \partial_\alpha\partial_\beta\right] \phi^\beta(x) = 0$$

und dass das Feld$\phi^\alpha(x)$erfüllt die Lorenz-Bedingung

$$\partial_\alpha \phi^\alpha(x) = 0.$$

Ich habe den ersten Teil gemacht, bin mir aber nicht sicher, wie ich mich dem zweiten Teil nähern soll - Ableitung der Lorenz-Eichbedingung. Ich weiß jetzt, wie ich beide Ergebnisse herleiten kann.

Aber warum/wie ist das möglich ? Der Lagrange-Operator sieht für jede Feldkomponente mit Ausnahme des zweiten Terms sehr ähnlich aus wie ein Klein-Gordon-Lagrange-Operator. Wenn die Lorenz-Bedingung jedoch tatsächlich aus der gegebenen Lagrange-Funktion ableitbar war, ist der zweite Term identisch Null, und die Lagrange-Funktion reduziert sich für jede Komponente vollständig auf eine Klein-Gordon-Lagrange-Funktion. Was war dann der Sinn des zweiten Terms im Lagrange von Anfang an? Ihr Beitrag zur Bewegungsgleichung ist ebenfalls identisch Null, wenn die Lorenz-Bedingung erfüllt ist.

Gibt es hier eine sinnvolle physikalische Deutung zu lernen?