WennK
ein Tötungsvektor ist, erfüllt es
∇μKv+∇vKμ= 0⟹∇μKμ= 0 .
Eine weitere Eigenschaft, die wir benötigen, kann bewiesen werden, indem wir auf die obige Gleichung mit eingehen
∇v
. Wir finden
□Kμ= −∇v∇μKv= [∇μ,∇v]Kv=Rvλ μ νKλ= −Rμ νKv .
Jetzt haben wir
(∇μ∇μ−M2)Kv∇vϕ = □Kv∇vϕ + 2∇μKv∇μ∇vϕ +Kv∇μ∇μ∇vϕ −M2Kv∇v. _
Notiz
∇μKv∇μ∇vϕ =12(∇μKv+∇vKμ)∇μ∇vϕ = 0 ,
Und
Kv∇μ∇μ∇vϕ=Kv∇μ∇v∇μϕ=Kv∇v□ ϕ +Kv[∇μ,∇v]∇μϕ=M2Kv∇vϕ +KμRμ ν∇μ. _
Wenn wir all dies zusammenfassen, finden wir
(∇μ∇μ−M2)Kv∇vϕ= □Kv∇vϕ +M2Kv∇vϕ +KμRμ ν∇μϕ −M2Kv∇vϕ= 0 .
QED.
Alexander Nelson
David