David Tongs passive Transformation der Felder ist falsch

David Tongs Definition von aktiver Transformation ist klar. Bei aktiver Transformation werden die Koordinaten (Basisvektoren) nicht verändert, sondern das Feld. Ich bezeichne die alten und neuen Felder als$\phi$Und$\phi'$. Also durch aktive Transformation

$\phi'(x) = \phi (\lambda^{-1} x)$.

Beachten Sie, dass ich den Strich auf das Feld gesetzt habe und nicht auf die Koordinate, da das Feld geändert (gedreht) wurde und nicht das Koordinatensystem.

Für passive Transformation schreibt Tong

$\phi'(x) = \phi (\lambda x)$. Das sieht für mich falsch aus. Ich ändere das Koordinatensystem ab$x$Zu$x'$und das Feld im alten Koordinatensystem ist$\phi(x)$und in der neuen ist es$\phi'(x')$. Da es sich um ein Skalarfeld handelt, habe ich$\phi'(x') = \phi (x)$. Jetzt$x'= \lambda x.$

Also bekomme ich

$\phi(x) = \phi'(\lambda x)$. Was eindeutig nicht dasselbe ist wie Tongs. Jetzt denke ich, dass Tongs Gleichung nicht richtig ist, weil ich keinen Fehler in meiner Definition finden kann. Kann das bitte jemand erklären.

Außerdem könnten einige bitte das korrekte Transformationsgesetz für ein Vektorfeld sowohl für die aktive als auch für die passive Rotation (sowohl für ein kovariantes als auch für ein kontravariantes Feld) schreiben, wobei die folgenden Konventionen (die ich von GR nehme) zu beachten sind. Beim Schreiben geben Sie bitte die Matrix mit den Feldänderungen sowie die Matrix an, mit der sich die Koordinaten ändern, wie ich es oben für ein skalares Feld geschrieben habe.

Wenn A ein kontravarianter Vektor ist, transformiert er sich als

$A= \lambda A$

Wenn A ein kovarianter Vektor ist, transformiert er sich als

$A'= \lambda^{-1}A.$

Wenn ich das richtig verstehe, sind die obigen Transformationen passiv.

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Ich weiß, dass, wenn sich der Basisvektor als transformiert$e' = \lambda^{-1} e$Wo${e'}$sind neue Basisvektoren und${e}$sind alte Basisvektoren, dann Koordinaten transformieren als$x'= \lambda x$. Und in GR wissen wir, dass sich Covektoren als Basisvektor ( mit$\lambda^{-1}$) während kontravariante wie Koordinaten transformieren (mit$\lambda$). Und das ist eine passive Transformation (wie in Caroll)

( Bitte verwenden Sie diese Konvention durchgehend )

Also in GR haben wir$A^{\mu'} = \lambda^{\mu'}{ }_{\nu} A^{\nu}$-> (1)

Und$A_{\mu'} =( \lambda^{-1})_{\mu'}{ }^{\nu} A_{\nu}$

Jetzt habe ich diese speziellen Fragen-

1. Bei den obigen Transformationen werden die Komponenten des Vektors (oder Covektors), d. e$A^{\nu}$ändern. Aber keines der Bücher (Caroll) erwähnt die Änderung in den Argumenten. Warum ist das so. Warum ändern sie nicht auch die Argumente? Wobei Sie auch die Transformation für Koordinaten geschrieben haben .

So sollte (1) wirklich sein

$A^{\mu'}(x') = \lambda^{\mu'}{ }_{\nu} A^{\nu}(x)$

->$A^{\mu'}(\lambda x) = \lambda^{\mu'}{ }_{\nu} A^{\nu}(x)$

Und$A_{\mu'}(x') = (\lambda^{-1})_{\mu'}{ }^{\nu} A_{\nu}(x)$

->$A_{\mu'}(\lambda x) = (\lambda^{-1})_{\mu'}{ }^{\nu} A_{\nu}(x)$

denn in meiner notation ändern sich die koordinaten wie$x'= \lambda x$(also habe ich das gerade ersetzt. Aber Sie erhalten nicht das gleiche Ergebnis wie meins. Liege ich falsch in der Berechnung oder im Verständnis. Sollte eq ( 1) wie oben sein (mit Änderung der Koordinaten auch dargestellt oder ohne, wie GR-Bücher bezeichnen) . All das, was ich geschrieben habe, dient der passiven Transformation, weil sich die Koordinaten geändert haben (und die funktionale Form des Feldes/Vektors). Bitte weisen Sie darauf hin, ob das, was ich geschrieben habe, richtig ist oder nicht. Wenn falsch, weisen Sie bitte darauf hin, was genaue Gleichung oder Verständnis ist falsch.

2. Basierend auf meinem Wissen über die obige Transformation von Basisvektoren (mit der inversen Matrix) versuche ich nun, die aktive Transformation zu bilden. Hier ändern sich die Felder/Vektoren und nicht die Koordinaten. Also sollte ich wirklich die inverse Matrix verwenden$\lambda^{-1}$( ist diese Argumentation richtig ), wenn ich die Änderung für kontravariante schreibe ( weil sich ihre Komponenten jetzt nicht geändert haben, sondern gedreht wurden. Und ich sollte die direkte Matrix verwenden ($\lambda$) für kovariante, weil ihre Transformation umgekehrt zur kontravarianten ist. So

$A^{\mu'}(x) =( \lambda^{-1})^{\mu'}{ }_{\nu} A^{\nu}(x)$( Keine Änderung der Argumente, da sie nicht geändert werden).

Und$A_{\mu'}(x) = \lambda_{\mu'}{ }^{\nu}A_{\nu}(x)$( Keine Änderung der Argumente, da sie nicht geändert werden).

Bitte weisen Sie noch einmal darauf hin, wenn hier etwas falsch ist, genau die Exat-Gleichung oder Annahme

3. Schließlich weiß ich für ein Skalarfeld

Da es sich um ein Skalarfeld handelt, habe ich$\phi'(x') = \phi (x)$. Jetzt$x'= \lambda x.$

Also bekomme ich

$\phi(x) = \phi'(\lambda x)$.

Was genau läuft hier falsch. Ich verstehe Ihre aktive Transformation, aber ich kann nicht herausfinden, was ich bei der passiven Transformation falsch mache. Bitte weisen Sie auf den Fehler hin.