Wenn ein Killing-Vektorfeld zeitartig ist, kann es auf ∂/∂t∂/∂t\partial/\partial t gesetzt werden?

@Phoenix87 ist genau richtig, aber ich werde ein bisschen näher darauf eingehen.

Definition 1 Eine Raumzeit$(M,g)$ist stationär , wenn es ein zeitähnliches Killing Field gibt$K$, also ein Vektorfeld$K$so dass$\langle K,K\rangle<0$Und$\mathcal{L}_Kg=0$.

Wir werden zeigen, dass Definition 1 die Existenz lokaler Koordinaten impliziert, für die$g_{\mu\nu}$ist zeitunabhängig.

Wählen Sie eine raumartige Hyperfläche$\Sigma$von$M$und betrachten die Integralkurven von$K$durchgehen$\Sigma$. In$\Sigma$wir wählen beliebige Koordinaten und führen lokale Koordinaten von ein$M$wie folgt: Wenn$p=\phi_t(p_0)$, Wo$p_0\in\Sigma$Und$\phi_t$ist der Fluss von$K$, dann die Lagrange-Koordinaten von$p$Sind$(t,\vec{x}(p_0))$. In Bezug auf diese Koordinaten haben wir

Die grobe Idee: Nehmen Sie den lokalen Fluss des Vektorfelds und verwenden Sie ihn, um eine neue "Zeit" -Koordinate zu erhalten. Im Allgemeinen wird dies lokal funktionieren , also müssen Sie Ihren Verteiler mit ausreichend kleinen offenen Teilmengen patchen , wo Sie dann den neuen Satz von Koordinaten definieren können, denen jetzt das Killing-Vektorfeld entspricht$\partial_t$.

Kommentare zur Frage (v3):

1. Gegeben eine Mannigfaltigkeit$M$, falls ein glattes Vektorfeld$X\in \Gamma(TM)$verschwindet nicht in einem Punkt$p\in M$, dann kann man eine lokale Koordinatennachbarschaft wählen$U\subseteq M$von$p$, mit lokalen Koordinaten$(x^1, \ldots, x^n)$, so dass$X=\frac{\partial}{\partial x^1}$. Dieses Verfahren wird manchmal als Schichtung oder Begradigung eines Vektorfelds bezeichnet. Es ist ein Sonderfall des Satzes von Frobenius .

2. Ein zeitähnliches Vektorfeld$X$verschwindet per Definition nicht, kann also lokal geschichtet werden$X=\frac{\partial}{\partial x^1}$, vgl. 1. Seit$X$ist zeitgemäß, würde man nennen$x^1$eine Zeitkoordinate.

3. Die Eigenschaft Killing-Vektorfeld ist für die lokale Schichtung irrelevant.