Auf Christoffel-Symbol- und Vektorfeldern

Question

Auf Christoffel-Symbol- und Vektorfeldern

Hasib

Nehmen Sie die Definitionsgleichung der Christoffel-Symbole:

\nabla_{\frac{\partial}{\partial X^{μ}}} \frac{\partial}{\partial X^{v}} = Γ_{μ v}^{σ} \frac{\partial}{\partial X^{σ}}

$\nabla_{\frac{\partial}{\partial x^\mu}}\frac{\partial}{\partial x^\nu}=\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu}\frac{\partial}{\partial x^{\sigma}}$ Beide Seiten der obigen Definition sind tatsächlich Vektorfelder, wobei die rechte Seite eine lineare Kombination von Koordinatenvektorfeldern ist, wobei die Koeffizienten der Kombination genau die Christoffel-Symbole sind

Γ_{μ ν}^{σ}

$\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu}$ die sich nicht als Tensor transformieren. Die obige Tatsache motiviert meine folgende Frage: Wenn man ein Vektorfeld hat

X

$X$ in ein Diagramm geschrieben

x^{μ}

$x^\mu$ als

X = X^{μ} \frac{\partial}{\partial x^{μ}}

$X=X^{\mu}\frac{\partial}{\partial x^\mu}$ , ist es der Fall, dass die reibungslos funktioniert

X^{μ}

$X^\mu$ auf der Mannigfaltigkeit sollte immer als Vektor transformieren? Die rechte Seite der obigen Definition für Christoffel-Symbole legt nahe, dass diese Behauptung nicht wahr ist.

J. Murray

Was bringt dich dazu das zu sagen? Die Christoffel-Symbole werden auf der Ebene des Diagramms definiert, nicht auf der Ebene der Mannigfaltigkeit - das ist im Wesentlichen der Punkt, dass unterschiedliche Auswahlen im Diagramm zu nicht trivialen Unterschieden in den Verbindungskoeffizientenfunktionen führen.

Hasib

Wenn ich ein Vektorfeld schreibe

X = f_{i} \frac{\partial}{\partial x^{i}}

$X=f_{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}$ , machen die glatten Funktionen

f_{i}

$f_i$ 's auf der Mannigfaltigkeit unbedingt als Vektor transformieren?

J. Murray

Nein, aber das liegt daran, dass Sie es bereits mit einem Diagramm definiert haben. Sie müssten sicherstellen, dass es die entsprechenden Transformationseigenschaften hat, sobald Sie es in einem anderen Diagramm ausgedrückt haben. Die Christoffel-Symbole nicht.

Hasib

Also, in einem geeigneten Diagramm kann ich es immer als Vektor transformieren, aber im Allgemeinen das

f_{i}

$f_i$ 's müssen nicht als Vektor transformiert werden, oder? Könnten Sie bitte eine Referenz (Kapitel, Seite usw.) angeben, um sich weiter damit zu befassen.

J. Murray

Es sollte beachtet werden, dass Sie ein Vektorfeld nicht wirklich definiert haben, indem Sie es in einem Diagramm ausdrücken. Ein Vektorfeld wird auf der Ebene der Mannigfaltigkeit als "gerichtete Ableitung" entlang einer glatten Kurve auf der Mannigfaltigkeit definiert. Es kann dann in einem beliebigen Diagramm ausgedrückt werden. Ich habe keine guten Referenzen zur Hand, aber vielleicht jemand anderes.

Kyle Kanos

Wenn Sie nach einigen Tagen auf dieser Seite keine Antworten erhalten, können Sie es mit Mathematik versuchen .

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Auf Christoffel-Symbol- und Vektorfeldern

Was bringt dich dazu das zu sagen? Die Christoffel-Symbole werden auf der Ebene des Diagramms definiert, nicht auf der Ebene der Mannigfaltigkeit - das ist im Wesentlichen der Punkt, dass unterschiedliche Auswahlen im Diagramm zu nicht trivialen Unterschieden in den Verbindungskoeffizientenfunktionen führen.
Wenn ich ein Vektorfeld schreibe $X=f_{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}$ , machen die glatten Funktionen $f_i$ 's auf der Mannigfaltigkeit unbedingt als Vektor transformieren?
Nein, aber das liegt daran, dass Sie es bereits mit einem Diagramm definiert haben. Sie müssten sicherstellen, dass es die entsprechenden Transformationseigenschaften hat, sobald Sie es in einem anderen Diagramm ausgedrückt haben. Die Christoffel-Symbole nicht.
Also, in einem geeigneten Diagramm kann ich es immer als Vektor transformieren, aber im Allgemeinen das $f_i$ 's müssen nicht als Vektor transformiert werden, oder? Könnten Sie bitte eine Referenz (Kapitel, Seite usw.) angeben, um sich weiter damit zu befassen.
Es sollte beachtet werden, dass Sie ein Vektorfeld nicht wirklich definiert haben, indem Sie es in einem Diagramm ausdrücken. Ein Vektorfeld wird auf der Ebene der Mannigfaltigkeit als "gerichtete Ableitung" entlang einer glatten Kurve auf der Mannigfaltigkeit definiert. Es kann dann in einem beliebigen Diagramm ausgedrückt werden. Ich habe keine guten Referenzen zur Hand, aber vielleicht jemand anderes.
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Ryan Unger · Answer 1

Wenn Sie welche haben $\{f^\mu\}\subset C^\infty(U)$ Wo $U$ ist dann ein Koordinatenbereich

\begin{matrix} (1) & X = F^{μ} \partial_{μ} \end{matrix}

$\tag{$1$}X=f^\mu \partial_\mu$ ist tatsächlich ein Vektorfeld in

U

$U$ . Wenn in Bezug auf ein anderes Koordinatensystem, haben wir

X = G^{μ^{'}} \partial_{μ^{'}},

$X=g^{\mu'}\partial_{\mu'},$ dann haben wir natürlich

\begin{matrix} (2) & G^{μ^{'}} = \frac{\partial X^{μ^{'}}}{\partial X^{μ}} F^{μ} . \end{matrix}

$\tag{$2$}g^{\mu'}=\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^\mu} f^\mu.$ Aber falls

{f^{μ}}

$\{f^\mu\}$ ein anderes Transformationsgesetz als (2) hat, muss es das nicht sein

G^{μ^{'}} = F^{μ^{'}} .

$g^{\mu'}=f^{\mu'}.$ Wenn Sie also ein Vektorfeld durch (1) definieren und dann transformieren, müssen Sie das Multiplett, welches Hilfstransformationsgesetz auch immer, vergessen

{f^{μ}}

$\{f^\mu\}$ hat.

Christoph · Answer 2

Ein geometrisches Objekt kann durch seinen lokalen Ausdruck in einem bestimmten Koordinatensystem in Kombination mit Regeln für die Koordinatenänderung definiert werden.

Wenn Sie also die unteren Indizes als bloße Beschriftungen für jede Auswahl behandeln würden $n,k$ von $\nu, \kappa$ man könnte die rechte Seite als Definition eines lokalen Vektorfeldes nehmen

Y_{N k} = Γ_{N k}^{μ} \frac{\partial}{\partial X^{μ}}

$Y_{nk} = \Gamma^{\mu}_{nk}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$

Allerdings müssten diese Felder bei Koordinatenänderung entsprechend transformiert werden

{\tilde{Y}}_{N k}^{μ} = \frac{\partial {\tilde{X}}^{μ}}{\partial X^{a}} Γ_{N k}^{a}

${\tilde Y}^\mu_{nk} = \frac{\partial {\tilde x}^\mu}{\partial x^{\alpha}} \Gamma^{\alpha}_{nk}$

was im Allgemeinen nicht mehr mit den Christoffel-Symbolen übereinstimmt, die in den neuen Koordinaten ausgedrückt werden, die durch gegeben sind

{\tilde{Γ}}_{v κ}^{μ} = \frac{\partial {\tilde{X}}^{μ}}{\partial X^{a}} [Γ_{β γ}^{a} \frac{\partial X^{β}}{\partial {\tilde{X}}^{v}} \frac{\partial X^{γ}}{\partial {\tilde{X}}^{κ}} + \frac{\partial^{2} X^{a}}{\partial {\tilde{X}}^{v} \partial {\tilde{X}}^{κ}}]

$\tilde \Gamma^{\mu}_{\nu\kappa} = {\partial \tilde x^\mu \over \partial x^\alpha} \left [ \Gamma^\alpha_{\beta \gamma}{\partial x^\beta \over \partial \tilde x^\nu}{\partial x^\gamma \over \partial \tilde x^\kappa} + {\partial ^2 x^\alpha \over \partial \tilde x^\nu \partial \tilde x^\kappa} \right ]$

stattdessen.

Da die Regeln für Koordinatenänderungen unterschiedlich sind, haben Sie es mit unterschiedlichen geometrischen Objekten zu tun, deren Koordinatenausdruck in einem bestimmten Koordinatensystem zufällig übereinstimmen kann.

In $Y = \Gamma^{\mu}_{~\nu\kappa}\partial_{\mu}$ Die Indizes sind nicht ausgeglichen, daher sollten die zusätzlichen 2 Indizes ignoriert werden. Aus der Transformationsformel kann man also nichts schließen, denn das wird auf ein Objekt mit 3 "aktiven" Indizes gemacht, nicht auf eines mit 2 Dummy-Indizes.
Die Motivation hinter der Aufstellung der Christoffel-Symboldefinition war wie folgt: Wenn in einem Diagramm $(U,x^{i})$ man schreibt ein Vektorfeld $Y |_{U} = F_{ich} |_{U} \frac{\partial}{\partial X^{ich}} |_{U}$ $Y\vert_{U}=f_{i}\vert_{U}\frac{\partial}{\partial x^{i}}|_{U}$ , macht die glatten Funktionen $f_{i}$ ist an $U$ , unbedingt als kontravarianten Vektor transformieren? Wir sehen aus der Definition der Christoffel-Symbole, dass die Koeffizienten $f_{i}$ 's transformieren sich nicht einmal als Tensor, aber die lineare Kombination gibt ein Vektorfeld in diesem Diagramm wieder. Vermisse ich etwas?
@Christoph, in der zweiten Zeile oben bitte Tippfehler korrigieren: sollte sein $\tilde{\Gamma}^{\mu}_{nk}$ anstatt $\tilde{Y}^{\mu}_{nk}$ . Sie sagen also, dass das Objekt $Y_{nk}$ ist kein geometrisches Objekt, insbesondere kein lokales Vektorfeld, da es sich bei Kartenwechsel inkonsistent verhält. Die Definitionsgleichung der Christoffel-Symbole gilt also nur für ein Diagramm, richtig?

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