Unterschied zwischen Koordinaten- und Vektorkomponententransformationen

Ich habe also gelesen, dass sich Komponenten von Vektoren zwischen Frames wie linear transformieren

A ' μ = ∂ X ' μ ∂ X v A v .

Ich habe auch gelesen, dass sich Koordinaten im Allgemeinen nicht linear zwischen Koordinatensystemen transformieren, ihre Differentiale jedoch:

D X ' μ = ∂ X ' μ ∂ X v D X v .

Was ich nicht verstehen kann, ist, wie um alles in der Welt Vektorkomponenten linear zwischen Koordinatensystemen transformiert werden können, wenn die Koordinaten dies nicht tun? Was ist, wenn der betreffende Vektor ein Positionsvektor ist, die Komponenten dann die Koordinaten sind und wir dann zu einem Widerspruch kommen? An diesem Punkt werde ich verwirrt.

Außerdem habe ich beim Ableiten der Vektorkomponententransformation immer das Beispiel der Transformation von einer kartesischen Transformation gesehen X , j Ebene zu einer anderen um einen Winkel gedreht θ relativ zum ersten. Nun, in diesem Beispiel transformieren sich die Komponenten des Vektors linear und ich kann das vollständig sehen, aber auch die Koordinaten!

Jede Hilfe wäre sehr willkommen!

Was meinst du mit Koordinaten transformieren sich nicht linear? Die Transformation zwischen Raumzeitkoordinaten ist nur eine Lorentz-Transformation Λ μ v .
Die Transformation von kartesisch zu sphärisch polar ist nicht linear
Oh, Sie sagen also die Transformation zwischen verschiedenen Koordinaten in diesem Sinne, nicht im Sinne von "unterschiedlichem Referenzrahmen".
Ja, tut mir leid, das hätte ich deutlicher machen sollen
Darf ich fragen, wo Sie gehört haben, dass sich Komponenten eines Vektors linear transformieren? Das ist nicht ganz richtig.
Nun, die erste obige Gleichung steht in allen Lehrbüchern, die ich über die Allgemeine Relativitätstheorie gelesen habe. Impliziert das nicht eine lineare Summe der ungestrichenen Komponenten?

Antworten (2)

In einer allgemein gekrümmten Raumzeit sind Vektoren nur im Tangentialraum einzelner Punkte definiert und per Definition Teil eines Vektorraums. Dies ist das einzige, was Sinn macht, da man Vektoren in einer gekrümmten Raumzeit keine konsistente Regel zuordnen kann, um Vektoren von einem Punkt auf einen anderen abzubilden. Dies hängt mit der Tatsache zusammen, dass es eine nicht-triviale Holonomie gibt, wenn eine Krümmung ungleich Null vorliegt. Koordinaten hingegen werden auf größeren Flächen der Raumzeit definiert.

Allgemeine Transformationen von Koordinaten könnten nichtlinear sein, aber sie würden immer eine lokale Transformation von Vektoren innerhalb ihrer eigenen Tangentenräume induzieren. Dies würde dann zu einer linearen Transformation der Vektoren führen.

Das Beispiel der kartesischen Ebene ist verwirrend, da sie keine Krümmung hat. Versuchen Sie dies mit einer anderen nicht trivialen Mannigfaltigkeit wie einer Kugel.

Zur Verdeutlichung muss man zwischen Koordinatensystemen und Sätzen von Basisvektoren unterscheiden. Die Linearität bei der Transformation der Vektorkomponenten ist eine Folge der Eigenschaften von Vektorräumen. Koordinatentransformationen unterscheiden sich etwas von Basisänderungen.

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