Koordinatenvektorfelder, die normalen Koordinaten zugeordnet sind

Lassen$(M,g)$sei eine Pseudo-Riemann-Mannigfaltigkeit,$p\in M$Und$\mathcal{B}_p=\{X_i^p \,:\,i=1,\ldots,n\}\in T_pM$eine orthonormale Basis des Tangentialraums des Punktes$p \in M$.

An dieser Basis befestigt$\mathcal{B}_p$und unter Verwendung der Exponentialkarte (induziert durch die Levi-Civita-Verbindung) haben wir das sogenannte normale Koordinatensystem um eine Nachbarschaft herum$U \subset M$von$p$

$\phi:U \subset M \rightarrow \phi(U) \subset \mathbb{R}^n$.

Meine Frage bezieht sich auf die lokalen Koordinatenvektorfelder, die an dieses Koordinatensystem angehängt sind:

$\left\{ \left.\frac{\partial}{\partial \phi_1}\right|, \ldots, \left.\frac{\partial}{\partial \phi_n}\right| \right\} \subset \mathfrak{X}(U)$.

Es ist nicht schwer zu erkennen, dass diese Vektorfelder ausgewertet werden$p$mit den ursprünglichen Tangentenvektoren zusammenfallen, die verwendet werden, um das normale Koordinatensystem zu definieren, d. h

$\left.\frac{\partial}{\partial \phi_i}\right|_p = X_i^p \;\;\;\;$für alle$i=1,\ldots, n$,

und daher bilden sie eine orthonormale Basis von$T_pM$.

Ich würde gerne wissen, ob die Koordinaten-Vektorfelder an einer anderen Stelle ausgewertet werden$U \ni q \neq p$

$\left\{ \left.\frac{\partial}{\partial \phi_1}\right|_q, \ldots, \left.\frac{\partial}{\partial \phi_n}\right|_q \right\} \subset T_qM$

eine Orthonormalbasis bilden? Wenn nein, in welchen Fällen trifft das zu?

Ich denke, dass die obige Situation vielleicht mit der Krümmung der Raumzeit zusammenhängt. Vielleicht ist so etwas wie "Koordinatenvektorfelder, die an Normalkoordinaten angehängt sind, orthogonal$U$genau dann, wenn die Raumzeit lokal eben ist$U$(Der Riemann-Tensor verschwindet weiter$U$)" Kann halten?