Wie transformiert sich ein Vektorfeld unter einer infinitesimalen Koordinatentransformation?

Wenn$X^\mu(x)$ist ein Vektorfeld in Form von Koordinaten$\{x^\mu\}$und wir betrachten eine infinitesimale Verschiebung,

$$x^\mu \to x^\mu + v^\mu(x)$$

dann das Vektorfeld$X^\mu$ändert sich entsprechend der Lie-Ableitung bzgl. des Vektors$v^\mu$, das heißt, wir haben das,

$$\delta X^\mu = \mathcal L_v X^\mu = v^\nu \nabla_\nu X^\mu - X^\nu \nabla_\nu v^\mu$$

indem man einfach die Regeln der Lie-Differenzierung eines Tensors anwendet. Wenn die Mannigfaltigkeit vollständig flach ist, werden kovariante Ableitungen zu partiellen Ableitungen herabgestuft.

$$\delta X^\mu = v^\nu \partial_\nu X^\mu - X^\nu \partial_\nu v^\mu$$

Wiederherstellung des vom OP angegebenen Ausdrucks. Beachte das$v^\nu \partial_\nu$ist das gleiche wie der Vektor$v^\mu$als Ableitung ausgedrückt.$^\dagger$Als solches können wir schreiben,

$$\mathcal L_v X = [v,X]$$

mit der Lie-Klammer, wo$v$Und$X$sind die als Ableitungen ausgedrückten Felder, dh Operatoren.

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$\dagger$Einen Vektor als Ableitung kann man sich als Richtungsableitung vorstellen. Insbesondere für einen Vektor$v$und eine Karte$f : \mathbb R^n \to \mathbb R$, wir haben das,

$$D_v f(x) = \frac{d}{d\lambda} f(x + \lambda v) \bigg\rvert_{\lambda = 0} = v^\mu \partial_\mu f (x).$$

Ein Fall von Interesse ist wann$v$ist ein Vektor entlang einer Kurve, dh es ist die Vektortangente entlang eines Pfads, in diesem Fall kann man die Differenzierung einer Abbildung entlang eines Pfads auf der Mannigfaltigkeit definieren.