Allgemeine Koordinatentransformationen?

Question

Allgemeine Koordinatentransformationen?

Physik
Kovarianz
Vektorfelder
Tensorkalkül
Koordinatensystem

JJ

Angenommen, ich habe ein Vektorfeld, das in kartesischen Koordinaten ausgedrückt wird:

A = \sum_{ich} A_{ich} {\hat{e}}_{ich}

$\mathbf{A} = \sum_i A_i \mathbf{\hat{e}}_i$ bei dem die

{\hat{e}}_{i}

$\hat{\mathbf{e}}_i$ sind die Verallgemeinerung der Einheitsvektoren

\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}

$\mathbf{\hat i}, \mathbf{\hat j}, \mathbf{\hat k}$ aus 3 Dimensionen.

Ich möchte wissen, wie man die Komponenten bestimmt $A_i'$ des gleichen Vektorfeldes $\mathbf{A}$ ausgedrückt in einem anderen orthonormalen Koordinatensystem:

A = \sum_{ich} A_{ich}^{'} {\hat{e}}_{ich}^{'} .

$\mathbf{A} = \sum_i A_i' \mathbf{\hat{e}}_i'.$ Natürlich seit

{\hat{e}}_{i}^{'} \cdot {\hat{e}}_{j}^{'} = δ_{i j}

$\mathbf{\hat{e}}_i'\cdot\mathbf{\hat{e}}_j' = \delta_{ij}$ , können wir diese Komponenten wie folgt bestimmen:

A_{J}^{'} = A \cdot {\hat{e}}_{J}^{'} = \sum_{ich} A_{ich} {\hat{e}}_{ich} \cdot {\hat{e}}_{J}^{'} .

$A_j' = \mathbf{A}\cdot\mathbf{\hat{e}}_j' = \sum_i A_i \mathbf{\hat{e}}_i\cdot\mathbf{\hat{e}}_j'.$ Jetzt denke ich rechnen

{\hat{e}}_{i} \cdot {\hat{e}}_{j}^{'}

$\mathbf{\hat{e}}_i\cdot\mathbf{\hat{e}}_j'$ im Allgemeinen ist langweilig. Ich habe jedoch an verschiedenen Stellen geschrieben gesehen (wie in dem Buch von Arfken, Weber und Harris ), dass für lineare Koordinatentransformationen die neuen Komponenten berechnet werden können

A_{J}^{'} = \sum_{ich} A_{ich} \frac{\partial X_{J}^{'}}{\partial X_{ich}}

$A_j' = \sum_i A_i \frac{\partial x_j'}{\partial x_i}$ Wo

x_{i}

$x_i$ sind die kartesischen Koordinaten und

x_{j}^{'}

$x_j'$ sind die neuen Koordinaten. Für lineare Koordinatentransformationen ist dies sinnvoll, aber ich habe auch gesehen, dass es für allgemeine Koordinatentransformationen verwendet wird, z. B. von kartesischen zu krummlinigen Koordinaten.

Ist dies tatsächlich korrekt für Transformationen in krummlinige Koordinaten, dh tut es $\mathbf{\hat{e}}_i\cdot\mathbf{\hat{e}}_j' = \partial x_j' / \partial x_i$ ? Und wenn ja, warum?

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Allgemeine Koordinatentransformationen?

Höhlenmensch · Answer 1

Sie sind versehentlich auf die ganze Idee der krummlinigen Koordinaten und ihre tiefe Verbindung mit der Differentialgeometrie gestoßen. Das ist die Grundidee, in der Basis $\{{\bf e}_i \}_i$ Sie können den Positionsvektor eines Punktes schreiben als

X = \sum_{ich} X^{ich} e_{ich}

${\bf x} = \sum_i x^i {\bf e}_i$

Stellen Sie sich nun eine glatte Transformation der Koordinaten der Form vor $x^i = f^i({\bf q})$ , und seine Umkehrung $q^i = g^i({\bf x})$ . Beispiele sind Kugelkoordinaten $(q^1, q^2, q^3) = (r, \theta, \phi)$ , Zylinderkoordinaten $(q^1, q^2, q^3) = (R, \phi, z)$ , ... und natürlich lineare Transformationen.

Nun der Zustand $q^i = f^i({\bf x}) = {\rm const}$ definiert eine Fläche. Zum Beispiel im sphärischen Fall $q^1 = {\rm const}$ definiert eine Kugel, $q^2 = {\rm const}$ definiert einen Kegel und $q^3 = {\rm const}$ ein Flugzeug. Sie können sich einen Punkt als Schnittpunkt dieser Flächen vorstellen. Und die Einheitsvektoren, die diesen neuen Koordinaten als Tangenten zu dieser Oberfläche entlang jeder Koordinate zugeordnet sind.

Der Begriff des Basisvektors ist also jetzt ortsabhängig, sie zeigen in verschiedene Richtungen, je nachdem, wo Sie stehen, aber es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass sie tangential zu den Oberflächen sind $f^i({\bf q}) = {\rm const}$ . Mit diesen Informationen können Sie sie jetzt erstellen

e_{ich}^{'} \sim \frac{\partial X}{\partial Q^{ich}}

${\bf e}'_i \sim \frac{\partial {\bf x}}{\partial q^i}$

Wo ich das Zeichen weggelassen habe " $=$ ", um zu betonen, dass Sie das Ergebnis normalisieren müssten, um dies sicherzustellen $|{\bf e}'_i| = 1$ . Kommen wir nun zu Ihrer Frage zurück, vorausgesetzt, die Basis $\{e_i \}_i$ ist koordinatenunabhängig, zB das kartesische Koordinatensystem

e_{ich} \cdot e_{J}^{'} = e_{ich} \cdot {\frac{\partial}{\partial Q^{J}}}_{k} \sum X^{k} (Q) e_{k} = \frac{\partial X^{ich} (Q)}{\partial Q^{J}}

${\bf e}_i \cdot {\bf e}'_j = {\bf e}_i \cdot \frac{\partial}{\partial q^j}_k\sum x^k({\bf q}) {\bf e}_k = \frac{\partial x^i({\bf q})}{\partial q^j}$

Das ist großartig, danke! Ich habe nur eine Frage. Wenn Sie die Normalisierung einbeziehen, $\mathbf{\hat{e}}_i' = \frac{\partial\mathbf{x}/\partial q^i}{|\partial\mathbf{x}/\partial q^i|}$ , und so ist das Endergebnis keine Gleichheit, sondern eine Verhältnismäßigkeit. Gibt es eine Möglichkeit, dies zu umgehen?
@Jean-Jacq Nicht wirklich, aber eigentlich willst du nicht. Die Normalisierung spielt bei der Transformation eine große Rolle. Es definiert die Metrik, was sich als sehr grundlegendes Konzept herausstellt
@caverac: Hallo, deine Antwort hat mir sehr geholfen. Ich wollte Ihre Antwort in Bezug auf Tangens-/Kotangensräume verstehen und habe hier eine Folgefrage (zu Ihrer Antwort) gestellt: math.stackexchange.com/questions/3490345/… Ich wäre sehr dankbar, wenn Sie eine haben könnten schau und hilf mir dabei!
@ShirishKulhari Großartig! Schön, dass es dir weitergeholfen hat. Werde es heute Abend mal anschauen

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JJ

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Höhlenmensch

JJ

Höhlenmensch

Shirish Kulhari

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