kontravariante und kovariante Vektoren und ihre Orthogonalität im euklidischen Raum

"Kontraktions-Orthogonalität" von kovarianter und kontravarianter Basis

Kontravariante Vektoren oder einfach "Vektoren" werden als Elemente des Tangentialraums an einem bestimmten Punkt definiert. In der Praxis werden sie bezüglich einer Koordinaten-Vektor-Basis definiert$\mathbf{e}_{(i)}$, Wo$\mathbf{e}_{(i)}$ist die Vektortangente an die$i$-te Koordinatenlinie. Dann sind sie wie üblich als Linearkombination der Basisvektoren gegeben ( im Folgenden Einstein-Summation vorausgesetzt)

$$\mathbf{v} = v^i \mathbf{e}_{(i)}$$

Kovariante Vektoren oder "1-Formen" hingegen sind abstraktere Objekte, die ausschließlich durch ihre Wirkung auf kontravariante Vektoren definiert sind. Beispielsweise gibt eine 1-Form, die auf einen (kontravarianten Vektor) wirkt, eine Zahl zurück

$$\mathbf{\alpha}(\mathbf{v}) = C,\,C \in \mathbb{R}$$

Eine weitere Anforderung an das 1-Formular$\alpha$ist, dass seine Aktion linear ist , das heißt für beliebige Vektoren$\mathbf{v},\,\mathbf{w}$und zwei beliebige Konstanten$D$,$E$

$$\alpha(D \mathbf{v} + E \mathbf{w}) = D \alpha(\mathbf{v}) + E \alpha(\mathbf{w})$$ Dies bedeutet eigentlich, dass wir seine Wirkung aus den Komponenten vollständig rekonstruieren können $\alpha_i \equiv \alpha(\mathbf{e}_{(i)})$denn dann dank der Linearität (überzeugen Sie sich selbst) $$\alpha(\mathbf{v}) = \alpha_i v^i$$ Alternativ können Sie definieren $\alpha_i$als Komponenten bezüglich einer kovarianten Basis $\alpha = \alpha_i \epsilon^{(i)}$Wo $\epsilon^{(i)}$wird durch die Eigenschaft definiert $$\epsilon^{(i)}(\mathbf{e}_{(j)}) = \delta^i_j$$ Das heißt, die "Kontraktions-Orthogonalität" von kovarianten und kontravarianten Basen hat nichts mit einer geometrischen Definition von Abstand oder Winkeln (AKA die Metrik) zu tun.

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Anheben und Absenken von Indizes

Stellen Sie sich nun einen Raum vor, in dem wir tatsächlich eine Metrik haben$g_{ij}$, abstrakt können wir es definieren als

$$\mathbf{g}(\mathbf{v},\mathbf{w})=C,\,C \in \mathbb{R}$$ wobei wir wieder Linearität verlangen. Betrachten Sie nun das Formular $\kappa$definiert von $\kappa(\mathbf{w}) \equiv \mathbf{g}(\mathbf{u},\mathbf{w})$für irgendeinen Vektor $\mathbf{u}$. $\kappa$ist eine vollwertige Form wie oben definiert, deren Bestandteile nachgewiesen werden können $$\kappa_i = g_{ij} u^j$$ Physiker kennen dies als "Indexerniedrigung". Wir gehen davon aus, dass die Metrik nicht entartet ist, was das bedeutet $u \leftrightarrow \kappa$ist eine Eins-zu-eins-Beziehung und wir können eine Umkehrung finden $\mathbf{g}^{-1}$. Die Komponenten der inversen Metrik werden normalerweise als bezeichnet $g^{ij}$Wo $g_{ij} g^{jk} = \delta^i_k$ist eine definierende Eigenschaft. Die "Indexerhöhung" von Formen zu Vektoren wird dann durch definiert $$w^i = \beta_j g^{ij}$$ Tatsächlich ist diese Operation in der metrischen Geometrie so verbreitet, dass Physiker (insbesondere Relativisten) einfach sagen, dass es sich um "dasselbe Objekt mit Indizes nach oben oder unten" handelt, dh $$\kappa_i = v^j g_{ij} \equiv v_i$$ Und $$w^i = \beta_j g^{ij} \equiv \beta^i$$

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Nicht-orthogonale Basen

Wir können die kontravarianten Basisvektoren nehmen und überprüfen, ob sie orthogonal sind, indem wir einfach nehmen

$$\mathbf{g}(\mathbf{e}_{(i)},\mathbf{e}_{(j)}) =?$$ oder die kovariante Basis $$\mathbf{g}^{-1}(\mathbf{\epsilon}^{(i)},\mathbf{\epsilon}^{(j)}) =?$$ In diesem Sinne können kovariante und kontravariante Basisvektoren orthogonal oder nicht-orthogonal sein.

Ich fühle mich etwas unwohl mit der Art und Weise, wie der obige Artikel die kovarianten und kontravarianten Vektoren "mischt". Versuche abzuschätzen, ob$\mathbf{e}_{(i)}$Und$\epsilon^{(j)}$orthogonal sind, macht nicht viel Sinn, da es sich einfach um verschiedene geometrische Objekte handelt. (Wenn Sie versuchen, einen Index für eine der beiden über die Metrik zu erhöhen/zu senken und dann die Metrik zum Punktprodukt des Ergebnisses zu verwenden, erhalten Sie Orthogonalität trivialerweise aus den definitorischen Eigenschaften der Basen und der oben zitierten Metrik/inversen Metrik. Sie kann man leicht selbst nachprüfen.)