Transformation verallgemeinerter Koordinaten

Einer der Vorteile der Lagrange-Formulierung besteht darin, dass die Bewegungsgleichungen unabhängig von der Wahl der verallgemeinerten Koordinaten dieselbe Form haben. Angenommen, ein System hat$s$Freiheitsgrade, und let$q_i (i = 1, 2, ..., s)$seien die verallgemeinerten Koordinaten (GC). Die Lagrange-Bewegungsgleichungen sind

$$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \tag{1} \label{Lq}$$ Dann, wenn eine Transformation des GC der Form $$Q_i = Q_i(q_1,...,q_s,t), \ i = 1,2,...,s \tag{2} \label{Qq}$$ betrachtet wird, haben die Bewegungsgleichungen nur die gleiche Form $q_i$Ersetzt mit $Q_i$, und Lagrange ausgedrückt in neuen GCs: $$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{Q_i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial Q_i} = 0. \tag{3} \label{LQ}$$

Diese Aussage versuche ich wie folgt zu beweisen. Mit Kettenregel,

$$\frac{\partial L}{\partial \dot{Q_i}} = \frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}} \frac{\partial \dot{q_k}}{\partial \dot{Q_i}}.$$ $q_k$kann durch Invertieren der obigen GC-Transformation erhalten werden $\eqref{Qq}$als $$q_k = q_k(Q_1,...,Q_s,t), \ k = 1,2,...,s. \tag{4} \label{qQ}$$ Dann $$\dot{q_k} = \frac{\partial q_k}{\partial Q_i} \dot{Q_i} + \frac{\partial q_k}{\partial t}$$ Und $$\frac{\partial \dot{q_k}}{\partial \dot{Q_i}} = \frac{\partial q_k}{\partial Q_i}.$$ Daher, $$\frac{\partial L}{\partial \dot{Q_i}} = \frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}} \frac{\partial q_k}{\partial Q_i}. \tag{5} \label{term1}$$ Auch, $$\frac{\partial L}{\partial Q_i} = \frac{\partial L}{\partial q_k} \frac{\partial q_k}{\partial Q_i}. \tag{6} \label{term2}$$ Ersetzen $\eqref{term1}$Und $\eqref{term2}$In $\eqref{LQ}$: $$\frac{\partial q_k}{\partial Q_i} \left\lbrace\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}\right) -\frac{\partial L}{\partial q_k}\right\rbrace + \frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}} \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial q_k}{\partial Q_i}\right)=0.$$ Jetzt ist der Begriff in den geschweiften Klammern wegen null $\eqref{Lq}$, aber seit $\frac{\partial q_k}{\partial Q_i}$ist eine Funktion der Zeit, der letzte Term, der Null sein sollte, wenn Lagrange-Gleichungen unter einer GC-Transformation der Form unveränderlich sind $\eqref{Qq}$, wird nicht null sein.

Wo mache ich falsch?