Impulsvektortransformation

I) Der (Lagrange) kanonisch konjugierte Impuls

$$\tag{1} p_i ~:=~\frac{\partial L(q,\dot{q},t)}{\partial \dot{q}^i}$$

transformiert sich als Einform/Co-Vektor

$$\tag{2} p_i~=~ p^{\prime}_j \frac{\partial f^j(q,t)}{\partial q^i}$$

unter (möglicherweise zeitabhängigen) Positionskoordinatentransformationen

$$\tag{3} q^i~\longrightarrow~ q^{\prime j}~=~f^j(q,t)$$

in der Position Mannigfaltigkeit$M$(auch als Konfigurationsraum bekannt ). Der Lagrange$L(q,\dot{q},t)$und die Geschwindigkeit$\dot{q}^i$einen Skalar transformieren

$$\tag{4} L(q,\dot{q},t)~=~L^{\prime}(q^{\prime},\dot{q}^{\prime},t)$$

und ein affiner Vektor

$$\tag{5} \dot{q}^{\prime j} ~=~ \dot{q}^i \frac{\partial f^j(q,t)}{\partial q^i} +\frac{\partial f^j(q,t)}{\partial t}$$

unter allgemeinen Positionskoordinatentransformationen (3). Gleichung (5) impliziert dies

$$\tag{6} \frac{\partial \dot{q}^{\prime j}}{\partial \dot{q}^i} ~\stackrel{(5)}{=}~\frac{\partial f^j(q,t)}{\partial q^i}.$$

Gleichung (2) folgt wegen Gl. (1), (4), (6) und die Kettenregel :

$$\tag{7} p_i ~=~\frac{\partial L(q,\dot{q},t)}{\partial \dot{q}^i} ~=~ \frac{\partial \dot{q}^{\prime j}}{\partial \dot{q}^i} \frac{\partial L^{\prime}(q^{\prime},\dot{q}^{\prime},t)}{\partial \dot{q}^{\prime j}} ~=~ \frac{\partial f^j(q,t)}{\partial q^i}p^{\prime}_j.$$

II) Erwähnen wir der Vollständigkeit halber, dass im Hamiltonschen Formalismus die Impulse$p_i$sind unabhängige Variablen. Der Transformationssatz (2) und (3) ist nicht die allgemeinste Phasenraumtransformation

$$\tag{8} (q^i,p_j)~\longrightarrow~(q^{\prime i},p^{\prime}_j) =(f^i(q,p,t),g_j(q,p,t)),$$

auch wenn der Phasenraum das Kotangensbündel ist$T^{\ast}M$und selbst wenn wir uns auf Symplektomorphismen beschränken .

Man kann überprüfen, ob eine Phasenraumtransformation (8) der Form (2) und (3) ein Symplektomorphismus ist. Tatsächlich handelt es sich um eine kanonische Transformation (CT) vom Typ 2 mit erzeugender Funktion

$$\tag{9} F_2(q,p^{\prime},t)~=~ p^{\prime}_j f^j(q,t).$$

Zur Definition eines CT siehe auch diesen Phys.SE-Beitrag. Aus hamiltonscher Sicht sind die Transformationen (2) und (3) die Transformationen, die die Faserstruktur des Kotangensbündels berücksichtigen$T^{\ast}M$. Wir sollten jedoch betonen, dass der vollständige Satz von Symplektomorphismen erheblich größer ist als der Satz von Transformationen (2) und (3). Mit anderen Worten: Die symplektische Struktur ist gröber als die Kotangensbündelstruktur.

Beispiel: Die Phasenraumtransformation

$$\tag{10} q^{\prime i} ~=~ p_i \quad\text{and}\quad p^{\prime}_j ~=~-q^j$$

hat nicht die Form von Gl. (2) und (3). Es handelt sich jedoch um einen Symplektomorphismus und einen Typ 1 CT mit erzeugender Funktion

$$\tag{11} F_1(q,q^{\prime},t)~=~ q^{\prime i} q^i.$$

Die Tatsache, dass die oberen und unteren Indizes in Gl. (10) und (11) stimmen nicht überein, spiegelt wider, dass der Symplektomorphismus (10) die Faserstruktur des Kotangensbündels nicht respektiert$T^{\ast}M$.

Verweise:

1. M. Nakahara, Geometrie, Topologie und Physik, 2003; Unterabschnitt 1.1.3.

Die Objekte, die wir im euklidischen Raum Vektoren nennen, sind in allgemeineren Situationen eigentlich zwei mögliche unterschiedliche Arten von Objekten. Wenn Sie die Koordinaten ändern ($q_i\to q_i'$), ändern sich die Komponenten mit unterschiedlichen Regeln, je nachdem, wie die Jacobi$\Lambda_{ij} = \frac{\partial q'_i}{\partial q_j}$(unter Verwendung Ihrer Notation) erscheint.

1) Vektoren (oder Tangentenvektoren oder kontravariante Vektoren):

Geschwindigkeiten sind ein wichtiges Beispiel. Wenn ein System eine Trajektorie hat$q_i(t)$, seine Geschwindigkeit ist$v_i(t)=\frac{dq_i}{dt}$. Wenn Sie die Koordinaten ändern, erhalten Sie

$$v_i'=\frac{dq_i'}{dt}=\sum_j\frac{\partial q_i'}{\partial q_j}\frac{dq_j}{dt}=\sum_j \Lambda_{ij}v_j.$$

2) Co-Vektoren (oder Cotangens-Vektoren oder Einsformen oder kovariante Vektoren):

Der Gradient einer Funktion ist ein wichtiges Beispiel dafür. Wenn$f(q)$eine Funktion im Konfigurationsraum ist, ist ihr Gradient$\nabla f_i=\frac{\partial f}{\partial q_i}$. Ändern Sie die Koordinaten, um zu erhalten

$$(\nabla f)'_i=\frac{\partial f}{\partial q'_i}=\sum_j\frac{\partial q_j}{\partial q'_i}\frac{\partial f}{\partial q_j}=\sum_j \Lambda_{ji}^{-1}\nabla f_j.$$

Diese zwei unterschiedlichen Transformationsgesetze definieren die zwei unterschiedlichen Arten von Vektoren. Im euklidischen Raum machen wir uns darüber keine Gedanken, weil wir dort oft nur Drehungen machen, bei denen die beiden Konzepte zufällig zusammenfallen.

Die Transformation ist so, wie Sie geschrieben haben, weil der Impuls wirklich ein Covektor im Konfigurationsraum ist. Das sieht man zum Beispiel daran, dass$\frac{dp_i}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_i}$.