Welchen Funktionstyp hat der verallgemeinerte Impuls?

Question

Welchen Funktionstyp hat der verallgemeinerte Impuls?

Nikolaj-K

Lassen

L : R^{N} \times R^{N} \times R \to R

$L:{\mathbb R}^n\times {\mathbb R}^n\times {\mathbb R}\to {\mathbb R}$

bezeichnen die Lagrangefunktion (es sollte differenzierbar sein) eines klassischen Systems mit $n$ räumliche koordinaten. In der Aktion

S [Q] = \int_{T_{1}}^{T_{2}} L (Q (T), Q^{'} (T), T) D T,

$S[q]=\int_{t_1}^{t_2} L(q(t),q'(t),t)\, \mathrm{d}t,$

der erste $n$ Slots werden an einem Pfad ausgewertet $q:{\mathbb R}\to {\mathbb R}^n$ , der Zweite $n$ bei $q'$ und der letzte ist für mögliche explizite Zeitabhängigkeiten.

Sind verallgemeinerte Impulse als Funktionen der verallgemeinerten Koordinaten definiert, dh

P_{J} = \frac{\partial L (X^{1}, \dots, X^{N}, v^{1}, \dots, v^{N}, T)}{\partial v^{J}},

$p_j=\frac{\partial L(x^1,\dots,x^n,v^1,\dots,v^n,t)}{\partial v^j},$

oder in Verbindung mit einer Kurve $q:{\mathbb R}\to {\mathbb R}^n$ , dh

P_{J} = {\frac{\partial L (Q^{1}, \dots, Q^{N}, v^{1}, \dots, v^{N}, T)}{\partial v^{J}} |}_{Q = Q (T), v = Q^{'} (T)},

$p_j=\left.\frac{\partial L(q^1,\dots,q^n,v^1,\dots,v^n,t)}{\partial v^j}\right\rvert_{\large{q=q(t),\ v=q'(t)}},$ ?

Im letzteren Fall ist es nur eine Funktion der Zeit, und $q$ ist irgendwo darin vergraben.

Eine damit koabhängige Frage könnte lauten: Was ist die Art der Gesamtableitung und des Terms $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}$ in Differentialgleichung in $q:{\mathbb R}\to {\mathbb R}^n$ , was normalerweise ausgedrückt wird als

\frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{ich}} - \frac{\partial L}{\partial Q_{ich}} = 0.

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\dot q_i}} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = 0.$

yuggib

Für klassische Systeme in endlichen Dimensionen gilt:

q, \dot{q}, p

$q,\dot{q},p$ sind als Karten gedacht

R

$\mathbb{R}$ Zu

R^{n}

$\mathbb{R}^n$ . Trotzdem ist es oft praktisch, die explizite Abhängigkeit zu verfolgen, z. B. in

q

$q$ Und

\dot{q}

$\dot{q}$ von

p

$p$ .

Nikolaj-K

@yuggib: Es scheint mir, dass Gleichungen wie angegeben sind

\dot{q} = {q, H}

${\dot q}=\{q,H\}$ Und

\dot{p} = {p, H}

${\dot p}=\{p,H\}$ völlig seltsam sind, egal welche der beiden Perspektiven man einnimmt.

yuggib

Sie sind meiner Meinung nach nicht seltsam, nur geometrischer: Die Poisson-Klammern unterstreichen die symplektische Struktur von Systemen in der klassischen Mechanik.

Nikolaj-K

@yuggib: Mein Punkt war, dass die Poisson-Klammer als Ableitungen nach q und p definiert ist, und auf der rechten Seite nehmen wir solche Ableitungen von q und p. Auf der linken Seite müssen wir dagegen von Trajektorien sprechen. Deshalb sind sie seltsam, ohne darauf hinzuweisen, wo wir was ersetzen.

Antworten (1)

Welchen Funktionstyp hat der verallgemeinerte Impuls?

Für klassische Systeme in endlichen Dimensionen gilt: $q,\dot{q},p$ sind als Karten gedacht $\mathbb{R}$ Zu $\mathbb{R}^n$ . Trotzdem ist es oft praktisch, die explizite Abhängigkeit zu verfolgen, z. B. in $q$ Und $\dot{q}$ von $p$ .
@yuggib: Es scheint mir, dass Gleichungen wie angegeben sind ${\dot q}=\{q,H\}$ Und ${\dot p}=\{p,H\}$ völlig seltsam sind, egal welche der beiden Perspektiven man einnimmt.
Sie sind meiner Meinung nach nicht seltsam, nur geometrischer: Die Poisson-Klammern unterstreichen die symplektische Struktur von Systemen in der klassischen Mechanik.
@yuggib: Mein Punkt war, dass die Poisson-Klammer als Ableitungen nach q und p definiert ist, und auf der rechten Seite nehmen wir solche Ableitungen von q und p. Auf der linken Seite müssen wir dagegen von Trajektorien sprechen. Deshalb sind sie seltsam, ohne darauf hinzuweisen, wo wir was ersetzen.

QMechaniker · Answer 1

I) Viele der Fragen von OP zur Funktionsweise des Lagrange-Formalismus werden bereits in z. B. diesem Phys.SE-Beitrag und den darin enthaltenen Links behandelt. Zum Beispiel wird die Frage nach der Gesamtzeitableitung in den EL-Gleichungen in meiner Antwort diskutiert .

II) In dieser Antwort möchten wir die verschiedenen Definitionen im Lagrange-Formalismus (der klassischen Mechanik) mathematisch erläutern. Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass es weder eine explizite Zeitabhängigkeit noch höhere Zeitableitungen gibt, dh lassen wir diese Verallgemeinerungen als Übung.

Lassen Sie den Verteiler $M$ der Konfigurations-/Positionsraum sein. Gegeben sei eine Lagrange-Funktion

\begin{matrix} (1) & E := T M ∋ z := (Q, v) \overset{L}{\mapsto} L (Q, v) \in R . \end{matrix}

$\tag{1} E~:=~TM~\ni~z:=~(q,v)~ \stackrel{L}{\mapsto}~L(q,v)~\in~ \mathbb{R}.$

Das Differenzial ist

\begin{matrix} (2) & T E \overset{L_{*} \equiv \frac{\partial L}{\partial z}}{⟶} T R . \end{matrix}

$\tag{2} TE~\stackrel{L_{\ast}\equiv\frac{\partial L}{\partial z}}{\longrightarrow} ~T\mathbb{R}.$

Die entsprechende Lagrange-Impulsfunktion

\begin{matrix} (3) & E ∋ (Q, v) \overset{(π_{M}, P)}{\mapsto} (Q, P (Q, v)) \in T^{*} M \end{matrix}

$\tag{3} E~\ni~(q,v)~\stackrel{(\pi_M, p)}{\mapsto}~(q,p(q,v))~\in~T^{\ast}M$

wird in Koordinaten als angegeben $^1$

\begin{matrix} (4) & P = \frac{\partial L}{\partial v} . \end{matrix}

$\tag{4} p~=~\frac{\partial L}{\partial v}.$

Ähnlich haben wir

\begin{matrix} (5) & E ∋ (Q, v) \overset{(π_{M}, \frac{\partial L}{\partial Q})}{\mapsto} (Q, \frac{\partial L (Q, v)}{\partial Q}) \in T^{*} M . \end{matrix}

$\tag{5} E~\ni~(q,v)~\stackrel{(\pi_M, \frac{\partial L}{\partial q})}{\mapsto}~(q,\frac{\partial L(q,v)}{\partial q})~\in~T^{\ast}M.$

In Gl. (3) und (5) haben wir geeignete kanonische Identifikationen zwischen den Kotangensbündeln verwendet $T^{\ast}E$ Und $T^{\ast}M$ .

III) Let

\begin{matrix} (6) & ICH := [T_{ich}, T_{F}] \overset{γ}{⟶} M \end{matrix}

$\tag{6} I~:=~[t_i,t_f] ~\stackrel{\gamma}{\longrightarrow}~M$

ein Positionspfad/-kurve sein. Lassen

\begin{matrix} (7) & ICH ∋ T \overset{\tilde{γ}}{\mapsto} (γ (T), \dot{γ} (T)) \in E \end{matrix}

$\tag{7} I ~\ni~t~ \stackrel{\tilde{\gamma}}{\mapsto}~(\gamma(t),\dot{\gamma}(t))~\in~ E$

sei der entsprechende Auftrieb zum Tangentialbündel.

IV) Der entsprechende Pullback

\begin{matrix} (8) & ICH ∋ T \mapsto ({\tilde{γ}}^{*} L) (T) := L \circ \tilde{γ} (T) \in R \end{matrix}

$\tag{8} I ~\ni~t~\mapsto~(\tilde{\gamma}^{\ast} L)(t)~:=~L\circ\tilde{\gamma}(t)~\in~ \mathbb{R}$

Und

\begin{matrix} (9) & ICH ∋ T \mapsto ({\tilde{γ}}^{*} P) (T) := P \circ \tilde{γ} (T) \end{matrix}

$\tag{9} I ~\ni~t~\mapsto~(\tilde{\gamma}^{\ast} p)(t)~:=~p\circ \tilde{\gamma}(t)$

werden in der physikalischen Literatur oft auch als Lagrangian bzw. Impuls (des/entlang des Weges) bezeichnet.

V) Das Aktionsfunktional ist

\begin{matrix} (10) & C^{1} (ICH) ∋ γ \overset{S}{\mapsto} \int_{ICH} D T {\tilde{γ}}^{*} L \in R . \end{matrix}

$\tag{10} C^1(I)~\ni~\gamma~\stackrel{S}{\mapsto} \int_I \!dt ~\tilde{\gamma}^{\ast} L ~\in ~\mathbb{R}.$

VI) Die Euler-Lagrange-Gleichungen lesen

\begin{matrix} (11) & \frac{D}{D T} P \circ \tilde{γ} (T) = \frac{\partial L}{\partial Q} \circ \tilde{γ} (T) . \end{matrix}

$\tag{11} \frac{d}{dt} p\circ\tilde{\gamma} (t)~=~\frac{\partial L}{\partial q}\circ\tilde{\gamma} (t).$

--

$^1$ In dieser Antwort diskutieren wir nur den Lagrange-Formalismus. Es gibt einen entsprechenden Hamiltonschen Formalismus, den wir der Einfachheit halber nicht berücksichtigen. Insbesondere sollte die Lagrange-Impulsfunktion (4) nicht mit dem Hamilton-Impuls verwechselt werden, der eine unabhängige Variable ist.

Danke für die Antwort - gibt es einen vernünftigen Namen für den Pullback der Impulsfunktion?

Welchen Funktionstyp hat der verallgemeinerte Impuls?

Nikolaj-K

yuggib

Nikolaj-K

yuggib

Nikolaj-K

Antworten (1)

QMechaniker

Nikolaj-K

Wie kommt es zu ddt(∂ri∂qj)=∂r˙i∂qjddt(∂ri∂qj)=∂r˙i∂qj\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial {r_i}}{ \partial {q_j}}\right) = \frac{\partial {\dot r_i}}{\partial {q_j}} in der Lagrange-Mechanik? [Duplikat]

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