Holonome Beschränkungen und Freiheitsgrade

Question

Holonome Beschränkungen und Freiheitsgrade

Christian Schnorr

Wikipedia und andere Quellen definieren holonomische Beschränkungen als eine Funktion

F ({\vec{R}}_{1}, \dots, {\vec{R}}_{N}, T) \equiv 0,

$f(\vec{r}_1, \ldots, \vec{r}_N, t) \equiv 0,$

und sagt, dass die Anzahl der Freiheitsgrade in einem System durch die Anzahl der unabhängigen holonomen Beschränkungen reduziert wird.

Ich könnte mehrere solcher Einschränkungen nehmen $f_1, \ldots, f_m$ und formulieren sie als eine einzige, die genau dann erfüllt ist, wenn alle $f_i$ sind erfüllt:

F = \sum_{ich = 1}^{M} | F_{ich} | .

$f = \sum_{i=1}^{m}{\lvert f_i \rvert}.$

Dies kombiniert $f$ würde offensichtlich die Anzahl der Freiheitsgrade um reduzieren $m$ anstatt $1$ .

Um den absoluten Wert zu vermeiden, könnte ich alternativ eine Summe von Quadraten verwenden

F = \sum_{ich = 1}^{M} F_{ich}^{2}

$f = \sum_{i=1}^{m} f_i^2$

stattdessen. Wo ist mein Denkfehler?

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Holonome Beschränkungen und Freiheitsgrade

QMechaniker · Answer 1

Nun, in der Definition von holonomen Beschränkungen $f_1, \ldots, f_m$ , gibt es auch zwei technische Regularitätsbedingungen (die die Gegenbeispiele von OP nicht erfüllen):

Die Funktionen $f_1, \ldots, f_m,$ soll stetig differenzierbar sein mit $m\leq 3N$ .
Der $m\times 3N$ rechteckige Jacobi-Matrix
$\frac{\partial (F_{1}, \dots, F_{M})}{\partial ({\vec{R}}_{1}, \dots, {\vec{R}}_{N})}$ $\frac{\partial(f_1, \ldots, f_m)}{\partial(\vec{r}_1, \ldots, \vec{r}_N)}$ Rang haben sollte $m$ auf der Constraint-Untermannigfaltigkeit.

Die Regularitätsbedingungen 1 & 2 werden auferlegt, um die lokale Existenz verallgemeinerter Koordinaten sicherzustellen $q_1, \ldots, q_n$ , in einer offenen Nachbarschaft, wo $n:=3N-m$ , über den Umkehrfunktionssatz .

Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

Verweise:

M. Henneaux & C. Teitelboim, Quantisierung von Eichsystemen, 1994; Unterabschnitt 1.1.2, p. 7.

Holonome Beschränkungen und Freiheitsgrade

Christian Schnorr

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QMechaniker

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