Virtuelle Verschiebung

Dies sollte angesichts der Definition einer virtuellen Verschiebung klar sein. Lassen Sie uns das sehen. Ich entlehne dies den Vorlesungen über analytische Mechanik von F. Gantmacher .

Betrachten Sie ein System von Teilchen mit Positionsvektoren, die wir als bezeichnet haben$\vec{r_i}$. Das System kann einer Beschränkung unterworfen werden$f(\vec{r_i},\dot{\vec{r_i}},t)=0$. Betrachten wir eine Unterklasse von Einschränkungen$f(\vec{r_i},t)=0$. Diese Beschränkungen werden als holonome Beschränkungen bezeichnet. Indem wir dies einmal differenzieren, erhalten wir

$$\sum_i\frac{\partial f}{\partial\vec{r_i}}\cdot\vec{v_i}+\frac{\partial f}{\partial t}=0$$

Diese Gleichung wird durch die Geschwindigkeiten der Teilchen erfüllt. Die Geschwindigkeiten, die dieser Gleichung gehorchen, heißen zulässige Geschwindigkeiten. Lassen Sie uns erlaubte Verschiebungen durch definieren$\mathrm d\vec{r_i}=\vec{v_i}~\mathrm dt$. Das befriedigt,

$$\sum_i\frac{\partial f}{\partial\vec{r_i}}\cdot{\mathrm d\vec{r_i}}+\frac{\partial f}{\partial t}~\mathrm dt=0$$ Wir können jetzt virtuelle Verschiebungen als die Differenz zwischen zwei zulässigen Verschiebungen definieren. dh $\delta\vec{r_i}=(\vec{v}^\prime_i-\vec{v}_i)~\mathrm dt$. Daher genügt dies, $$\sum_i\frac{\partial f}{\partial\vec{r_i}}\cdot\delta{\vec{r_i}}=0$$ Machen wir ein Beispiel. Betrachten Sie ein einfaches Pendel mit der Saitenlänge $l$an einem Schwingträger befestigt. Lassen Sie die Koordinaten des Bobs sein $(x,y)$und seien die Koordinaten des Stützpunktes gegeben durch $(L \cos(\Omega t),0)$. Dann ist die Einschränkung hier $f(x,y,t)=(x-L\cos(\Omega t))^2+y^2-l^2=0$. Dann genügen die erlaubten Verschiebungen $2(x-L\cos(\Omega t)~\mathrm dx+2y~\mathrm dy+2(x-L\cos(\Omega t))L\Omega\sin(\Omega t)~\mathrm dt=0$wohingegen die virtuellen Verschiebungen befriedigen $2(x-L\cos(\Omega t))~\delta x+2y~\delta y=0$.