D'Alembert-Ableitung der Lagrange-Gleichung - warum kann sie sowohl virtuelle als auch normale Differentiale verwenden?

Question

D'Alembert-Ableitung der Lagrange-Gleichung - warum kann sie sowohl virtuelle als auch normale Differentiale verwenden?

Physik
Koordinatensystem
klassische Mechanik
eingeschränkte Dynamik
lagrangescher Formalismus
Variationsrechnung

Kleiner Käse

In „Classical Mechanics“ von Goldstein und „A Students Guide to Lagrangians and Hamiltonians“ von Hamill ist mir aufgefallen, dass sowohl die virtuellen Verschiebungsableitungen als auch die normalen Verschiebungsableitungen an verschiedenen Punkten des Beweises verwendet werden, wie unten gezeigt. Meine Frage ist, warum kann diese Mischung aus realen und virtuellen Derivaten durchgeführt werden?

Zur Vereinfachung der Gleichungen wird angenommen, dass es nur eine Masse und eine zugehörige verallgemeinerte Variable gibt $x=x(q,t)$ , mit $\dot{x}$ bedeutet differentiell in Bezug auf die Zeit.

Die virtuelle Verschiebung $\delta x$ dient zum Aufstellen der virtuellen Arbeitsgleichung über:

\begin{matrix} (1) & δ X = \frac{\partial X}{\partial Q} δ Q, δ T = 0, \end{matrix}

$\delta x = \frac {\partial x}{\partial q} \delta q, \qquad \delta t=0, \tag{1}$

ersetzt werden in ( $F$ ist Kraft, $a$ ist Beschleunigung):

\begin{matrix} (2) & (F / M) δ X = A δ X = A \frac{\partial X}{\partial Q} δ Q . \end{matrix}

$(F/m) \delta x = a \delta x = a \frac {\partial x}{\partial q} \delta q.\tag{2}$

Die folgenden Gleichungen (3) und (4) werden verwendet, um die Beschleunigung zu transformieren $a$ in der rechten Seite von (2) in eine Form, die auf der kinetischen Energie basiert $T$ , unter Verwendung der üblichen Geschwindigkeitsdifferentialgleichung mit möglicher expliziter $t$ -Abhängigkeit:

\begin{matrix} (3) & v = \dot{X} = \frac{\partial X}{\partial Q} \dot{Q} + \frac{\partial X}{\partial T} \end{matrix}

$v=\dot{x} = \frac {\partial x}{\partial q} \dot{q} + \frac {\partial x}{\partial t} \tag{3}$

ableiten:

\begin{matrix} (4) & \frac{\partial v}{\partial \dot{Q}} = \frac{\partial X}{\partial Q} . \end{matrix}

$\frac {\partial v}{\partial \dot{q}} = \frac {\partial x}{\partial q}. \tag{4}$

Es sieht also so aus, als würden in (1) & (2) virtuelle Verschiebungen und reale Verschiebungen verwendet

\begin{matrix} (5) & δ X = \frac{\partial X}{\partial Q} δ Q + \frac{\partial X}{\partial T} δ T \end{matrix}

$\delta x = \frac {\partial x}{\partial q} \delta q + \frac {\partial x}{\partial t} \delta t \tag{5}$ werden in (3) & (4) Teilen der d'Alembert-Ableitung der Lagrange-Gleichungen verwendet.

Antworten (1)

D'Alembert-Ableitung der Lagrange-Gleichung - warum kann sie sowohl virtuelle als auch normale Differentiale verwenden?

QMechaniker · Answer 1

Einerseits dürfen holonome Beschränkungen und die Lagrange-Funktion selbst durchaus eine explizite Zeitabhängigkeit haben, vgl. zB der letzte Term in OP's Gl. (3).
Andererseits ist es eine wohlbekannte Tatsache, dass die relevanten (unendlich kleinen) Verschiebungen im d' Alembertschen Prinzip und im Prinzip der stationären Aktion – die sogenannten (unendlich kleinen) virtuellen Verschiebungen – in der Zeit eingefroren sind $\delta t=0$ . Siehe zB this , this & this related Phys.SE posts.

Danke. Ist das Folgende richtig: Es sieht einfach so aus, als würden (1) & (3) verwendet. Es stellt sich heraus, dass die Differentialrechnung, die (3) verwendet, um zu (4) zu gelangen, den Term mit der Zeit ∂x/∂t entfernt, indem sie die Tatsache verwendet, dass die Beschränkung x(q,t) holonom ist. Tatsächlich erlaubt dies, (1) in der Ableitung von (4) zu verwenden, anstatt (3) zu verwenden, um zu (4) zu gelangen, da (überraschenderweise) das gleiche Ergebnis auftritt. Daher besteht keine Widersprüchlichkeit bei der Verwendung realer differentieller Verschiebungen, da dies mit der Verwendung nur virtueller Verschiebungen vereinbar ist. Die Frage ist, ob das zufällig oder sehr clever ist!?
Ich habe überprüft, wo die virtuellen und tatsächlichen Differentiale verwendet wurden, und soweit ich das beurteilen kann, ist das der Fall. Der Beweis in Hamill in Abschnitt 1.3 leitet die Gleichung ab und nimmt bei der Ableitung von (4) die Ableitung von ∂x/∂ t-Term in Bezug auf q Punkt, und dieser Term wird Null.
Das ist nur ein Zufall, wenn das funktioniert. Es ist nicht der allgemeine Grund.

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