Sind verallgemeinerte Koordinaten wirklich unabhängig?

Sie verlieren Informationen, indem Sie diese Transformation durchführen. Insbesondere kennen Sie nur die Umlaufbahn des Teilchens und verlieren alle Informationen über die Geschwindigkeit.

Im Allgemeinen eine verallgemeinerte Koordinatentransformation aus einer Menge von$x^{a}$zu einem Satz von$y^{a}$gilt nur dann, wenn für die Matrix$M_{ab} = \frac{\partial y^{a}}{\partial x^{b}}$, du hast${\rm det}\left( M_{ab}\right) \neq 0$

1. Wenn wir nach verallgemeinerten Koordinaten fragen $q^j$unabhängig sind, meinen wir per Definition vor der Verwendung eines Differentials$^1$Bewegungsgleichungen. Eine Differentialgleichung der Bewegung wird per Definition nicht als Zwangsbedingung betrachtet.

2. Verallgemeinerte Koordinaten könnten abhängig sein, wenn wir weitere Einschränkungen über Lagrange-Multiplikatoren implementiert haben .

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$^1$Unter Bewegungsgleichungen verstehen wir Lagrange-Gleichungen (im Gegensatz zu rein kinematischen Identitäten). Unter Bewegungsdifferentialgleichungen verstehen wir Bewegungsgleichungen mit Zeitableitungen.

Sie sollten nicht versuchen, zu machen$t$eine Koordinate; es ist eine Bezeichnung für die Koordinaten, über die der koordinatenabhängige Lagrange integriert wird, um die Aktion zu bilden. (Das offensichtlichste Problem, das dies verursacht, ist, dass der Impuls der Zeit undefiniert ist, d.$\frac{\partial L}{\partial \dot{t}}=\frac{\partial L}{\partial 1}$.) Es wäre, als würde man versuchen, die Felder in einer Theorie so zu ändern, dass eines durch die Raumzeitkoordinaten ersetzt wird, die die Felder kennzeichnen (beachten Sie, dass diese integriert werden, um die Wirkung einer Feldtheorie zu erhalten, dh alle Felder sind analog zu verallgemeinerten Koordinaten).