Was sind holonome und nicht-holonome Zwangsbedingungen?

Wenn Sie ein mechanisches System mit haben$N$Partikel, die Sie technisch benötigen würden$n = 3N$Koordinaten, um es vollständig zu beschreiben.

Aber oft ist es möglich, eine Koordinate durch andere auszudrücken: Wenn zum Beispiel zwei Punkte durch einen starren Stab verbunden sind, ändert sich ihr relativer Abstand nicht. Ein solcher Zustand des Systems kann als Gleichung ausgedrückt werden, die nur die räumlichen Koordinaten betrifft$q_i$des Systems und der Zeit$t$, aber nicht auf momenta$p_i$oder höhere zeitliche Ableitungen. Diese werden als holonome Constraints bezeichnet :

Ein Beispiel für eine holonome Beschränkung ist in einem mathematischen Pendel zu sehen. Der Schwingpunkt am Pendel hat zwei Freiheitsgrade ($x$und$y$). Die Länge$l$des Pendels ist konstant, sodass wir die Zwangsbedingung schreiben können als

Nicht-holonome Constraints sind im Grunde nur alle anderen Fälle: wenn die Constraints nicht als Gleichung zwischen Koordinaten geschrieben werden können (sondern oft als Ungleichung).

Ein Beispiel für ein System mit nicht-holonomen Zwangsbedingungen ist ein Teilchen, das in einer Kugelschale gefangen ist. In drei Raumdimensionen hat das Teilchen dann 3 Freiheitsgrade. Die Nebenbedingung besagt, dass der Abstand des Teilchens vom Kugelmittelpunkt immer kleiner als ist$R$:

Die Frage wurde mehrfach gut beantwortet. Ich werde nur etwas geometrischen Kontext hinzufügen.

In der Geometrie ist die Holonomiegruppe einer Verbindung die Menge von Transformationen, die ein Objekt erfahren kann, wenn es parallel in einer Schleife transportiert wird. Viele Einschränkungen können so formuliert werden, dass etwas parallel transportiert werden muss. Wenn die zugehörigen Holonomiegruppen nicht trivial sind, kann die Beschränkung nicht holonom sein, da die Ausrichtung des Objekts von der durchlaufenen Schleife und nicht nur vom aktuellen Zustand abhängt. Ziemlich verwirrenderweise erhalten Sie also holonomische Einschränkungen von trivialen Holonomiegruppen.

Hier sind einige Beispiele:

• Angenommen, eine Münze rollt, ohne in 2D zu rutschen. Dies ist eine holonomische Einschränkung, denn wenn Sie die Münze vorwärts und zurück zum Ausgangspunkt rollen, endet sie in derselben Ausrichtung. Formal wird dies durch parallelen Transport in a beschrieben$U(1)$bündeln$\mathbb{R}$, bei dem die$U(1)$beschreibt die Ausrichtung der Münze.
• Angenommen, ein Ball rollt, ohne in 3D zu rutschen. Dies ist keine holonomische Einschränkung, denn wenn Sie den Ball herumwackeln, können Sie ihn dazu bringen, dorthin zurückzukehren, wo er begonnen hat, umgedreht. (Probieren Sie es aus!) Formal wird dies durch nichttriviale Holonomie in an beschrieben$SO(3)$bündeln$\mathbb{R}^2$, bei dem die$SO(3)$beschreibt die Ausrichtung des Balls.
• Angenommen, eine Katze schwebt im Weltraum mit einem Gesamtdrehimpuls von Null. Dies ist keine holonomische Einschränkung, da es möglich ist, dass die Katze ein wenig wackelt und dann in ihre ursprüngliche Form zurückkehrt, sich aber umdreht . Formal wird dies durch nichttriviale Holonomie in an beschrieben$SO(3)$bündeln$S$, wo$S$ist der Formenraum der Katze.

Eine holonome Einschränkung ist eine Einschränkung, die eine eindeutige Beziehung zwischen den von Ihnen verwendeten Koordinaten herstellt. Betrachten Sie zum Beispiel einen Zylinder mit Radius$R$Rollen entlang eines Tisches in 1-D. Das System kann durch eine Koordinate beschrieben werden$x$, die die Position des Zylinders bezeichnet, und eine Koordinate$\theta$, der den Rotationswinkel des Zylinders beschreibt. Wenn der Zylinder aber ohne Schlupf abrollt, dann für jeden infinitesimalen Weg$dx$Bewegt sich der Zylinder, muss er sich um eine Strecke bewegen$d\theta$gegeben von

Eine nicht-holonome Einschränkung ist ein System, für das diese Integration nicht durchgeführt werden kann. Das klassische Beispiel dafür ist eine Kugel, die ohne Rutschen auf einem Tisch in 2D rollt. In diesem Fall wird der Zustand des Systems durch die Position der Kugel entlang des Tisches beschrieben (wobei zwei Koordinaten benötigt werden,$x$und$y$) und die Winkelausrichtung der Kugel in 3D (wobei drei Koordinaten benötigt werden, z. B. die Euler-Winkel$\theta$,$\phi$,$\psi$.)

Nehmen wir nun an, ich verschiebe die Kugel entlang des Tisches um eine infinitesimale Verschiebung$dx$und$dy$. Die Werte von$dx$und$dy$, kombiniert mit den Werten von$\theta$,$\phi$,$\psi$vor der Verschiebung, bestimmt die infinitesimalen Änderungen$d\theta$,$d\phi$,$d\psi$. Mit anderen Worten, es muss eine Art Beziehung der Form geben

Man könnte hoffen, dass wir diese Beziehungen zwischen den Differentialen integrieren könnten, um Beschränkungen zwischen den Koordinaten selbst zu erhalten, ausgedrückt als eine Reihe von Funktionen$f_j(q_i) = 0$. Aber hier ist der Haken: Wir können nicht. Gäbe es eine solche Menge von Funktionen, dann wäre es so, dass die Position des Balls$x,y$auf dem Tisch würde seine Winkelausrichtung vollständig bestimmen, genau wie beim Zylinder. Du kannst es aber auch selbst ausprobieren: Nimm einen Ball und markiere einen Startpunkt auf dem Tisch und einen Punkt auf dem Ball. Legen Sie den Ball so auf den Startpunkt, dass die markierte Stelle des Balls oben ist, und rollen Sie den Ball über den Tisch, ohne zu rutschen. Sie werden schnell feststellen, dass die Position des Balls auf dem Tisch nicht seine Ausrichtung bestimmt: Wenn Sie den Ball zum Ausgangspunkt zurückbringen, ist der markierte Punkt in der Regel nicht oben. Tatsächlich können Sie so ziemlich jeden Punkt auf den Ball bringen, wenn der Ball zu seinem Ausgangspunkt zurückkehrt.

Das bedeutet, dass es keine Funktionen gibt$f_i(q_j)$der Koordinaten, die durch "Integrieren" der obigen Differentialbeschränkungen erhalten werden können. Anstelle einer Beschränkung zwischen den Koordinaten selbst "stecken" wir in einer Beschränkung zwischen den infinitesimalen Änderungen der Koordinaten fest.

Der Vollständigkeit halber: Es gibt auch einen Begriff von semi-holonomen Beschränkungen.

1. Erinnern Sie sich an eine holonomische Beschränkung$^1$

   $$f(q,t)~=~0\tag{H}$$ hängt nur von den verallgemeinerten Koordinaten ab$^2$ $q^j$und Zeit$t$, aber nicht die verallgemeinerten Geschwindigkeiten$\dot{q}^j$.

2. Eine nicht-holonome Einschränkung ist wenig überraschend eine Einschränkung, die nicht holonom ist.

3. Eine semi-holonomische/ Pfaffsche Einschränkung

   $$a(q,\dot{q},t)~\equiv~ \sum_{j=1}^na_j(q,t)~\dot{q}^j+a_0(q,t)~=~0\tag{S1}$$ ist eine nichtholonome Zwangsbedingung, die affin von den verallgemeinerten Geschwindigkeiten abhängt$\dot{q}^j$. Gl. (S1) kann äquivalent über eine Einsform geschrieben werden $$\omega~\equiv~\sum_{j=1}^na_j(q,t)~\mathrm{d}q^j+a_0(q,t)\mathrm{d}t~=~0.\tag{S2}$$

4. Die Beschränkung (S2) ist äquivalent zur holonomen Beschränkung (H), falls es einen integrierenden Faktor gibt$\lambda(q,t)\neq 0$und eine Eins-Form$\eta$so dass$^3$

   $$\lambda\omega+ f\eta~\equiv~\mathrm{d}f . \tag{I}$$

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$^1$Es werden implizit verschiedene technische Regularitätsbedingungen angenommen, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

$^2$In dieser Antwort nennen wir auch die Positionsvariablen der ursprünglichen Punktpartikel${\bf r}_1, \ldots, {\bf r}_N$damit verallgemeinerte Koordinaten so allgemein wie möglich sind.

$^3$ Der Satz von Frobenius liefert notwendige und hinreichende Bedingungen

Angenommen, Sie haben entweder die Lagrange-Funktion eines Systems in Bezug auf aufgeschrieben$q_i,\,\dot{q}_i$, oder sein Hamilton-Operator in Bezug auf$q_i,\,p_i$. Es gibt einige Feinheiten bei der Analyse einer Funktion$f$existiert für welche$f(q_i,\,\dot{q}_j,\,t)=0$, oder$f(q_i,\,p_j,\,t)$. In jedem Fall haben Sie dieses System eingeschränkt. Wir nennen dies holonom wenn$f$ist eine Funktion der$q_i,\,t$allein.

Schauen wir uns einige Beispiele an. Eine Achterbahn folgt der Form ihrer Bahn, daher ist die Beschränkung holonom. Auf der anderen Seite hat Elektromagnetismus$p_{A_0}=0$, was eine nicht-holonome Einschränkung ist. (Tatsächlich hängt dieser nicht einmal von der ab$q_i$.)

Angenommen, ein Teilchen bewegt sich auf der Oberfläche der Kugel, können Sie die Gleichung für den Abstand zwischen dem Mittelpunkt der Kugel und dem Teilchen (Radius der Kugel) schreiben als$x^2+y^2+z^2 = R^2$, hier$x,y,z$sind die kartesischen Koordinaten und$R$ist der Radius der Kugel. Dies ist ein Beispiel für holonome Beschränkung. Nehmen wir nun an, dass sich das Teilchen nicht auf der Oberfläche der Kugel bewegen muss, in diesem Fall können Sie die Gleichung nicht wie oben angegeben schreiben. Es ist eine nicht-holomische Einschränkung. Siehe das Buch „Einführung in die klassische Mechanik“ von Puranik und Takwale.