Umwandlung von nicht-holonomen Beschränkungen in holonome

Question

Umwandlung von nicht-holonomen Beschränkungen in holonome

AlphaBaal

Im Falle einer rollenden Scheibe ohne Schlupf haben wir eine Einschränkung $\dot{x}=a\dot{\theta}$ Wo $a$ ist der Radius der Scheibe. Beachten Sie, dass ich darüber nachgedacht habe $x$ Und $\theta$ als verallgemeinerte Koordinaten. Per Definition ist dies eine nicht-holonome Einschränkung. Wenn wir jedoch die Einschränkung integrieren, gelangen wir zu $x=a\theta+\phi$ ( $\phi$ ist eine numerische Integrationskonstante), die sich als holonom herausstellt.

Bei der Methode zum Finden der Bewegungsgleichungen unter Verwendung von Lagrange-Operatoren mit einem Lagrange-Multiplikator haben wir $\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_i} + \lambda \frac{\partial f}{\partial q_i} = 0$ Wo $f$ repräsentiert die Einschränkung und $q_i$ ist der $i$ te verallgemeinerte Koordinate. Im obigen Fall $q_i=\{x,\theta\}$ . Nun, hatten wir verwendet $f=\dot{x}-a\dot{\theta}$ Als Einschränkung wäre der letzte Term der modifizierten Euler-Lagrange Null gewesen. Wenn wir jedoch die integrierte Version derselben Einschränkung verwenden, erhalten wir Terme ungleich Null ( $\lambda$ Und $a\lambda$ für $x$ Und $\theta$ bzw). Überraschenderweise ist letzteres laut Goldstein richtig. Was fehlt mir hier? (Ich beziehe mich speziell auf das Beispiel eines Reifens, der in Kapitel zwei von Goldstein die Steigung hinunterrollt.)

Dies bringt mich zu der allgemeineren Frage: Wie soll ich bei der Methode der Lagrange-Multiplikatoren die Zwangsbeziehung schreiben? Um zu veranschaulichen, was ich meine, nehmen Sie die folgende Beschränkung, die in Worten dargestellt wird: Das Teilchen bewegt sich in einem Kreis mit einem Radius $a$ . Wenn ich die Position des Teilchens mit bezeichne $r$ (generalisierte Koordinate), dann diktiert die Einschränkung $r-a=0$ . Alternativ kann ich auch gleich schreiben $r^3-a^3=0$ , dessen partielle Ableitung bzgl $r$ ist nicht dasselbe wie in der $r-a=0$ Fall. Was ist denn hier los?

Antworten (2)

Umwandlung von nicht-holonomen Beschränkungen in holonome

QMechaniker · Answer 1

Die Art der nicht-holonomen Beschränkung , die Ref. 1 an dieser Stelle bespricht, ist eine sogenannte semi-holonomische Beschränkung , die eine nicht-holonome Beschränkung ist, die durch eine Eins-Form gegeben ist
$\begin{matrix} (S) & ω \equiv \sum_{J = 1}^{N} A_{J} (Q, T) D Q^{J} + A_{0} (Q, T) D T = 0. \end{matrix}$ $\omega~\equiv~\sum_{j=1}^na_j(q,t)~\mathrm{d}q^j+a_0(q,t)\mathrm{d}t~=~0. \tag{S}$
Wenn es (i) eine holonome Einschränkung gibt
$\begin{matrix} (H) & F (Q, T) = 0, \end{matrix}$ $f(q,t)~=~0,\tag{H}$ (ii) ein integrierender Faktor $\lambda(q,t)\neq 0$ und (iii) eine Eins-Form $\eta$ so dass $\begin{matrix} (ICH) & λ ω + F η \equiv D F, \end{matrix}$ $\lambda\omega+ f\eta~\equiv~\mathrm{d}f , \tag{I}$ dann ist die Beschränkung (S) der holonomen Beschränkung (H) äquivalent. Dies ist zB beim 1D-Walzen in Abb. 2.5 der Fall, das OP erwähnt; nicht aber beim 2D-Rollen in Abb. 1.5. Um jegliche Verwirrung zu beseitigen, sollten wir wahrscheinlich betonen, dass eine nicht integrierbare semi-holonome Beschränkung nicht in eine holonome Beschränkung umgewandelt werden kann.
Für einige andere Fragen von OP siehe auch this , this , this this & this Related Phys.SE posts.

Verweise:

Herbert Goldstein, Klassische Mechanik, Kapitel 1 und 2.

Eli · Answer 2

Ich möchte die Frage beantworten, was passiert, wenn Sie die Beschränkungsgleichung für einen Kreispfad wie diesen schreiben

\begin{matrix} (1) & F_{1} = R - A = 0 \end{matrix}

$f_{1}=r-a=0\tag 1$ oder wie diese

\begin{matrix} (2) & F_{2} = R^{3} - A^{3} = 0 \end{matrix}

$f_{2}=r^3-a^3=0\tag 2$

Die EL-Gleichungen mit Vektornotation sind:

\begin{matrix} (3) & \frac{D}{D T} {(\frac{\partial L}{\partial \vec{\dot{w}}})}^{T} - {(\frac{\partial L}{\partial \vec{w}})}^{T} + {(\frac{\partial \vec{F}}{\partial \vec{w}})}^{T} \vec{λ} = \vec{0} \end{matrix}

$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \vec{\dot{w}}}\right)^T-\left(\frac{\partial L}{\partial \vec{w}}\right)^T + \left(\frac{\partial \vec{f}}{\partial \vec{w}}\right)^T\,\vec{\lambda} = \vec{0} \tag 3$

mit Polarkoordinate ist $\vec{w}=[r\,,\varphi]^T$ , dem Vektor der Freiheitsgrade

Sie benötigen eine zusätzliche Gleichung, um Gleichung (3) zu lösen $\ddot{r}_i\,,\ddot{\varphi}_i$ Und $\lambda_i$

\begin{matrix} (4) & \frac{D^{2}}{D T^{2}} \vec{F} = (\frac{\partial \vec{F}}{\partial \vec{w}}) \vec{\ddot{w}} + \frac{D}{D T} (\frac{\partial \vec{F}}{\partial \vec{w}} \vec{\dot{w}}) = (\frac{\partial \vec{F}}{\partial \vec{w}}) \vec{\ddot{w}} + \frac{D}{D \vec{w}} (\frac{\partial \vec{F}}{\partial \vec{w}} \vec{\dot{w}}) \vec{\dot{w}} = \vec{0} \end{matrix}

$\frac{d^2}{dt^2}\vec{f}=\left(\frac{\partial \vec{f}}{\partial \vec{w}}\right)\,\vec{\ddot{w}}+\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \vec{f}}{\partial \vec{w}}\,\vec{\dot{w}}\right)=\left(\frac{\partial \vec{f}}{\partial \vec{w}}\right)\,\vec{\ddot{w}}+\frac{d}{d\vec{w}}\left(\frac{\partial \vec{f}}{\partial \vec{w}}\,\vec{\dot{w}}\right)\,\vec{\dot{w}} =\vec{0}\tag 4$

mit Gleichung (3), (4) und (1) erhält man:

\begin{matrix} (5) & [\begin{matrix} \frac{D^{2}}{D τ^{2}} R (τ) \\ \frac{D^{2}}{D τ^{2}} φ (τ) + 2 \frac{(\frac{D}{D τ} R (τ)) \frac{D}{D τ} φ (τ)}{R (τ)} \end{matrix}] = \vec{0} \end{matrix}

$\left[ \begin {array}{c} {\frac {d^{2}}{d{\tau}^{2}}}r \left( \tau \right) \\ {\frac {d^{2}}{d{\tau}^{2}}}\varphi \left( \tau \right) +2\,{\frac { \left( {\frac {d}{d\tau}}r \left( \tau \right) \right) {\frac {d}{d\tau}}\varphi \left( \tau \right) } {r \left( \tau \right) }}\end {array} \right] =\vec{0}\tag 5$

Und

λ = [\begin{matrix} - M R (τ) {(\frac{D}{D τ} φ (τ))}^{2} \end{matrix}]

$\lambda=\left[ \begin {array}{c} -mr \left( \tau \right) \left( {\frac {d}{d \tau}}\varphi \left( \tau \right) \right) ^{2}\end {array} \right]$

und mit den Gleichungen (3), (4) und (2) erhalten Sie:

\begin{matrix} (6) & [\begin{matrix} \frac{D^{2}}{D τ^{2}} R (τ) - 2 \frac{{(\frac{D}{D τ} R (τ))}^{2}}{R (τ)} \\ \frac{D^{2}}{D τ^{2}} φ (τ) + 2 \frac{(\frac{D}{D τ} R (τ)) \frac{D}{D τ} φ (τ)}{R (τ)} \end{matrix}] = \vec{0} \end{matrix}

$\left[ \begin {array}{c} {\frac {d^{2}}{d{\tau}^{2}}}r \left( \tau \right) -2\,{\frac { \left( {\frac {d}{d\tau}}r \left( \tau \right) \right) ^{2}}{r \left( \tau \right) }}\\{\frac {d^ {2}}{d{\tau}^{2}}}\varphi \left( \tau \right) +2\,{\frac { \left( { \frac {d}{d\tau}}r \left( \tau \right) \right) {\frac {d}{d\tau}} \varphi \left( \tau \right) }{r \left( \tau \right) }}\end {array} \right] =\vec{0}\tag 6$

Und

λ = [\begin{matrix} - \frac{1}{3} \frac{M ({(R (τ))}^{2} {(\frac{D}{D τ} φ (τ))}^{2} - 2 {(\frac{D}{D τ} R (τ))}^{2})}{{(R (τ))}^{3}} \end{matrix}]

$\lambda=\left[ \begin {array}{c} -\frac{1}{3}\,{\frac {m \left( \left( r \left( \tau \right) \right) ^{2} \left( {\frac {d}{d\tau}}\varphi \left( \tau \right) \right) ^{2}-2\, \left( {\frac {d}{d\tau}}r \left( \tau \right) \right) ^{2} \right) }{ \left( r \left( \tau \right) \right) ^{3}}}\end {array} \right]$

somit sind die Bewegungsgleichungen und die Zwangskräfte nicht gleich!

für beide Nebenbedingungsgleichungen $f_1$ Und $f_2$ Ist $r=a$ , ersetzen Sie r gleich a in Gleichung
(5) und (6), daher sind die EOMs jetzt gleich:

[\begin{matrix} 0 \\ \frac{D^{2}}{D τ^{2}} φ (τ) \end{matrix}] = \vec{0}

$\left[ \begin {array}{c} 0\\{\frac {d^{2}}{d{\tau} ^{2}}}\varphi \left( \tau \right) \end {array} \right] =\vec{0}$

Und

{\vec{F}}_{λ ich} = {(\frac{\partial \vec{F_{ich}}}{\partial \vec{w}})}^{T} \vec{λ_{ich}} = [\begin{matrix} - A M {(\frac{D}{D τ} φ (τ))}^{2} \\ 0 \end{matrix}], ich = 1, 2

$\vec{F}_{\lambda i}=\left(\frac{\partial \vec{f_i}}{\partial \vec{w}}\right)^T\,\vec{\lambda_i}=\left[ \begin {array}{c} -am \left( {\frac {d}{d\tau}}\varphi \left( \tau \right) \right) ^{2}\\ 0\end {array} \right] \quad, i=1,2$

sind jetzt gleich

Umwandlung von nicht-holonomen Beschränkungen in holonome

AlphaBaal

Antworten (2)

QMechaniker

Eli

Verallgemeinerte Koordinaten finden, wenn der Satz über implizite Funktionen fehlschlägt

Holonome Beschränkungen und Freiheitsgrade

Was sind holonome und nicht-holonome Zwangsbedingungen?

Warum muss ein System holonom sein?

Sind verallgemeinerte Koordinaten wirklich unabhängig?

Virtuelle Verschiebung

D'Alembert-Ableitung der Lagrange-Gleichung - warum kann sie sowohl virtuelle als auch normale Differentiale verwenden?

Die Lagrange-Gleichung ist unter JEDER Koordinatentransformation forminvariant. Hamiltons Gleichungen unterliegen nicht JEDER Phasenraumtransformation. Warum?

Lagrangedichte eines 2D-Doppelpendelsystems mit Feder

Verwirrung um virtuelle Verschiebungen