Hamiltonsches Prinzip mit nichtholonomen Nebenbedingungen in Goldstein

Question

Hamiltonsches Prinzip mit nichtholonomen Nebenbedingungen in Goldstein

Physik
Lehrbuch-Erratum
klassische Mechanik
eingeschränkte Dynamik
lagrangianischer Formalismus
Variationsprinzip

Strahl

Ich studiere aus Goldsteins Classical Mechanics , 3. internationale Auflage, 2013. In Abschnitt 2.4 diskutierte er das Hamilton-Prinzip mit nichtholonomen Nebenbedingungen. Die Einschränkungen können in das Formular geschrieben werden

\begin{matrix} (2.24) & F_{a} (Q_{1}, . . ., Q_{N}; \dot{Q_{1}}, . . ., \dot{Q_{N}}; T) = 0 \end{matrix}

$f_\alpha(q_1,...,q_n;\dot{q_1},...,\dot{q_n};t)~=~0\tag{2.24}$ Wo

α = 1, . . ., m

$\alpha=1,...,m$ . Unter Verwendung des Variationsprinzips erhalten wir

\begin{matrix} (2.26) & δ \int_{T_{1}}^{T_{2}} (L + \sum_{a = 1}^{M} μ_{a} F_{a}) D T = 0 \end{matrix}

$\delta\int_{t_1}^{t_2}\left(L+\sum_{\alpha=1}^m \mu_\alpha f_\alpha\right)\mathrm dt=0 \tag{2.26}$

Wo $\mu_\alpha=\mu_\alpha(t)$ .

Aber wie kommt er an die Formel?

\begin{matrix} (2.27) & \frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial \dot{Q_{k}}} - \frac{\partial L}{\partial Q_{k}} = - \sum_{a = 1}^{M} μ_{a} \frac{\partial F_{a}}{\partial \dot{Q_{k}}} \end{matrix}

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q_k}}-\frac{\partial L}{\partial q_k}=-\sum_{\alpha=1}^m \mu_\alpha \frac{\partial f_\alpha}{\partial\dot{q_k}} \tag{2.27}$

für $k=1,...,n$ aus der vorherigen Formel?

Wenn ich die Schritte wie in Abschnitt 2.3 durchführe, bekomme ich

\frac{D ICH}{D β} = \int_{T_{1}}^{T_{2}} \sum_{k = 1}^{N} (\frac{\partial L}{\partial Q_{k}} - \frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial \dot{Q_{k}}} + \sum_{a = 1}^{M} μ_{a} (\frac{\partial F_{a}}{\partial Q_{k}} - \frac{D}{D T} \frac{\partial F_{a}}{\partial \dot{Q_{k}}})) \frac{\partial Q_{k}}{\partial β} D T

$\frac{dI}{d\beta}=\int_{t_1}^{t_2}\sum_{k=1}^n\left(\frac{\partial L}{\partial q_k}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q_k}}+\sum_{\alpha=1}^m \mu_\alpha\left(\frac{\partial f_\alpha}{\partial q_k}-\frac{d}{dt}\frac{\partial f_\alpha}{\partial\dot{q_k}}\right)\right)\frac{\partial q_k}{\partial\beta}\mathrm dt$ Wo

β

$\beta$ bezeichnet den Parameter der kleinen Wegänderung:

\begin{aligned} Q_{1} (T, β) & = Q_{1} (T, 0) + β η_{1} (T) \\ Q_{2} (T, β) & = Q_{2} (T, 0) + β η_{2} (T) \\ ⋮ \end{aligned}

$\begin{align} q_1(t,\beta)&=q_1(t,0)+\beta\eta_1(t)\\ q_2(t,\beta)&=q_2(t,0)+\beta\eta_2(t)\\ &\ \,\,\vdots \end{align}$ Unter Verwendung des gleichen Arguments wie im Teil der holonomen Beschränkung in Abschnitt 2.4 erhalte ich

\frac{\partial L}{\partial Q_{k}} - \frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial \dot{Q_{k}}} + \sum_{a = 1}^{M} μ_{a} (\frac{\partial F_{a}}{\partial Q_{k}} - \frac{D}{D T} \frac{\partial F_{a}}{\partial \dot{Q_{k}}}) = 0

$\frac{\partial L}{\partial q_k}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q_k}}+\sum_{\alpha=1}^m \mu_\alpha \left(\frac{\partial f_\alpha}{\partial q_k}-\frac{d}{dt}\frac{\partial f_\alpha}{\partial\dot{q_k}}\right)=0$ für

k = 1, . . ., n

$k=1,...,n$ .

Was vermisse ich?

Dirakologie

Ich bin mir ziemlich sicher, dass die Ableitung nicht so einfach ist, wie Goldstein vermuten lässt. Beachten Sie, dass Sie, wenn Sie Ihrem Ansatz sorgfältig folgen, erhalten (nur eine Einschränkung der Einfachheit halber)

\frac{\partial L}{\partial q_{i}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} + μ \frac{\partial f}{\partial q_{i}} - \frac{d}{d t} (μ \frac{\partial f}{\partial {\dot{q}}_{i}}) = 0

$\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}+\mu\frac{\partial f}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\left(\mu\frac{\partial f}{\partial\dot q_i}\right)=0$ , da der Multiplikator zeitabhängig ist. Das bedeutet, dass Sie die zeitliche Ableitung von kennen sollten

μ

$\mu$ aber das macht nicht viel Sinn (zumindest für mich).

Dirakula

Soweit ich das beurteilen kann, ist Ihre Formulierung der Einschränkungen wie in der dritten Ausgabe, aber das von Ihnen zitierte Ergebnis scheint wie in der zweiten Ausgabe zu sein (es scheint eher Gleichung 2.27 in der zweiten als in der dritten Ausgabe zu sein). Die Behandlungen (insbesondere die betrachteten Arten von Einschränkungen) scheinen mir in den beiden Fällen tatsächlich sehr unterschiedlich zu sein, und die Verwirrung rührt von der Vermischung der beiden her. Insbesondere in der dritten Ausgabe, in der sie die von Ihnen verwendeten Einschränkungen verwenden, liefern sie das Ergebnis, das @Diracology vorgeschlagen hat.

Antworten (1)

Hamiltonsches Prinzip mit nichtholonomen Nebenbedingungen in Goldstein

Ich bin mir ziemlich sicher, dass die Ableitung nicht so einfach ist, wie Goldstein vermuten lässt. Beachten Sie, dass Sie, wenn Sie Ihrem Ansatz sorgfältig folgen, erhalten (nur eine Einschränkung der Einfachheit halber) $\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}+\mu\frac{\partial f}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\left(\mu\frac{\partial f}{\partial\dot q_i}\right)=0$ , da der Multiplikator zeitabhängig ist. Das bedeutet, dass Sie die zeitliche Ableitung von kennen sollten $\mu$ aber das macht nicht viel Sinn (zumindest für mich).
Soweit ich das beurteilen kann, ist Ihre Formulierung der Einschränkungen wie in der dritten Ausgabe, aber das von Ihnen zitierte Ergebnis scheint wie in der zweiten Ausgabe zu sein (es scheint eher Gleichung 2.27 in der zweiten als in der dritten Ausgabe zu sein). Die Behandlungen (insbesondere die betrachteten Arten von Einschränkungen) scheinen mir in den beiden Fällen tatsächlich sehr unterschiedlich zu sein, und die Verwirrung rührt von der Vermischung der beiden her. Insbesondere in der dritten Ausgabe, in der sie die von Ihnen verwendeten Einschränkungen verwenden, liefern sie das Ergebnis, das @Diracology vorgeschlagen hat.

QMechaniker · Answer 1

TL;DR: Beachten Sie, dass die Behandlung von Lagrange-Gleichungen für nicht-holonome Beschränkungen in Lit. 1 & 2 widerspricht den Newtonschen Gesetzen und wurde auf der Errata-Homepage für Ref zurückgezogen. 2. Siehe Ref.-Nr. 3 für Einzelheiten.

Längere Erklärung:

Der Hauptpunkt von Goldsteins Abschnitt 1.4 war, vom d'Alembertschen Prinzip (DAP) auszugehen und Lagrange-Gleichungen (LE) für holonome Zwangsbedingungen abzuleiten $^1$ .
Daher (obwohl Goldstein dies zugegebenermaßen nicht klar sagt $^2$ ), sollte der Hauptpunkt von Abschnitt 2.4 darin bestehen, von DAP auszugehen und LE für affine nicht-holonome Constraints (= semi-holonomic Constraints ) abzuleiten.
Tatsächlich, allgemeiner, für unabhängige nicht-holonome Ein-Form-Einschränkungen
$\begin{matrix} (NH1C) & \begin{aligned} ω_{ℓ} \equiv & \sum_{J = 1}^{N} A_{ℓ J} (Q, \dot{Q}, T) D Q^{J} + A_{ℓ 0} (Q, \dot{Q}, T) D T = 0, \\ ℓ \in & {1, \dots, M}, \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}\omega_{\ell}~\equiv~& \sum_{j=1}^na_{\ell j}(q,\dot{q},t)\mathrm{d}q^j+ a_{\ell 0}(q,\dot{q},t)\mathrm{d}t~=~0, \cr \ell~\in~&\{1,\ldots, m\}, \end{align} \tag{NH1C}$ man kann zeigen, dass DAP zu LE führt $\begin{matrix} (LE) & \begin{aligned} \frac{D}{D T} \frac{\partial T}{\partial {\dot{Q}}^{J}} - \frac{\partial T}{\partial Q^{J}} = & Q_{J} + \sum_{ℓ = 1}^{M} λ^{ℓ} A_{ℓ J}, \\ J \in & {1, \dots, N} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}^j}-\frac{\partial T}{\partial q^j}~=~&Q_j+\sum_{\ell=1}^m\lambda^{\ell} a_{\ell j}, \cr j~\in ~&\{1,\ldots, n\}.\end{align} \tag{LE}$
Jetzt Refs. 1 & 2 verwenden stattdessen unabhängige nicht-holonome Beschränkungen
$\begin{matrix} (NHC) & F_{ℓ} (Q, \dot{Q}, T) = 0, ℓ \in {1, \dots, M} . \end{matrix}$ $f_{\ell}(q,\dot{q},t)~=~0, \qquad \ell~\in~ \{1,\ldots, m\}. \tag{NHC}$ Gl. (NHC) und (NH1C) sind äquivalent für affine nicht-holonome Beschränkungen, aber nicht im Allgemeinen.
Gl. (2.27) in Lit. 1 sind im Wesentlichen Chetaevs Gleichungen (CE) [5]
$\begin{matrix} (CE) & \begin{aligned} \frac{D}{D T} \frac{\partial T}{\partial {\dot{Q}}^{J}} - \frac{\partial T}{\partial Q^{J}} = & Q_{J} + \sum_{ℓ = 1}^{M} λ^{ℓ} \frac{\partial F_{ℓ}}{\partial {\dot{Q}}^{J}}, \\ J \in & {1, \dots, N} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}^j}-\frac{\partial T}{\partial q^j}~=~&Q_j+\sum_{\ell=1}^m\lambda^{\ell}\frac{\partial f_{\ell}}{\partial \dot{q}^j}, \cr j~\in~& \{1,\ldots, n\}. \end{align}\tag{CE}$ DAP plus affine nicht-holonome Einschränkungen (wobei $\frac{\partial f_{\ell}}{\partial \dot{q}^j}$ hat maximalen Rang) implizieren CE, aber nicht für allgemeine nicht-holonome Beschränkungen [6].

Verweise:

H. Goldstein, Classical Mechanics, 3. Auflage, 2013; Abschnitt 2.4. Gl. (2.26) ist bestenfalls falsch/irreführend.
H. Goldstein, Klassische Mechanik, 3. Aufl., 2001; Abschnitt 2.4. Errata-Homepage . (Beachten Sie, dass diese Kritik nur die Behandlung in der 3. Auflage betrifft; die Ergebnisse in der 2. Auflage sind korrekt.)
MR Flannery, Das Rätsel nichtholonomischer Beschränkungen, Am. J. Phys. 73 (2005) 265 .
EJ Saletan & AH Cromer, A Variational Principle for Nonholonomic Systems, Am. J. Phys. 38 (1970) 892 . Ref. 1 zitiert Lit. 4.
NG Chetaev, Izv. Fiz.-Mat. Obsc. Kaz. Univ. 6 (1933) 68. Der Chetaev-Begriff $\sum_{\ell=1}^m\lambda^{\ell} \frac{\partial f_{\ell}}{\partial \dot{q}^j}$ ist unter Umparametrisierungen der Beschränkungen unveränderlich $f^{\prime}_k= f_{\ell} M^{\ell}{}_k$ Und $\lambda^{\ell}=M^{\ell}{}_k\lambda^{\prime k}$ .
MR Flannery, D'Alembert-Lagrange analytische Dynamik für nichtholonome Systeme, J. Math. Phys. 52 (2011) 032705 ; P. 22.

--

$^1$ In dieser Antwort gehen wir von der Kommutativitätsregel aus

\begin{matrix} (CR) & \frac{D}{D T} δ Q^{J} = δ \frac{D}{D T} Q^{J}, \end{matrix}

$\frac{d}{dt}\delta q^j=\delta \frac{d}{dt}q^j,\tag{CR}$ vgl. zB dieser verwandte Phys.SE-Beitrag.

$^2$ Goldstein bezieht sich verwirrend auf das Hamilton-Prinzip , das dem Hauptparadigma widerspricht, die Newtonschen Gesetze als erstes Prinzip zu verwenden.

Idee für später: Betrachten Sie Hamiltonian Lagrangeian $L_H=\sum_{j=1}^np_j\dot{q}^j -H(q,p,t) +\sum_{\ell=1}^m\lambda^{\ell} f_{\ell}(q,p,t)$ .
Notizen für später: Nicht-holonome Zwangsbedingungen $f_{\ell}(q,\dot{q},t)=0$ bei entsprechendem Rangzustand auf Normalform gebracht werden $\dot{q}^{\ell}-g^{\ell}(q,\text{other }\dot{q},t)=0$ . Es ist nicht klar, wie das Prinzip von d'Alembert anzuwenden ist. Normalform $\dot{q}^{\ell}-g^{\ell}(q,\text{other }\dot{q},t)=0$ ist nicht gleichbedeutend mit einer Form $\mathrm{d}q^{\ell}-g^{\ell}(q,\text{other }\dot{q},t)\mathrm{d}t=0$ . Wenn dies der Fall wäre, würde dies auch Chetaev-Gleichungen verletzen.

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