Ableitung von Euler-Lagrange-Gleichungen für verallgemeinerte Koordinaten ohne "virtuelle Arbeit"?

Ich habe „Classical mechanics“ von Goldstein, Poole und Safko gelesen. Insbesondere der Abschnitt über "Das D'alembert-Prinzip und die Lagrange-Gleichungen", in dem das Prinzip der virtuellen Arbeit verwendet wird, um die Lagrange-Gleichungen für verallgemeinerte Koordinaten abzuleiten. Ich bin etwas verwirrt von der Mathematik, insbesondere aufgrund der Verwendung von Verschiebungen$\delta q_j$. Ich habe versucht, das Ergebnis abzuleiten, ohne das Konzept der virtuellen Arbeit zu verwenden. Ich möchte überprüfen, ob diese Ableitung richtig ist:

Aufstellen

Wir haben einen Konfigurationsraum$X=\mathbb R^n$, und ein Weg$r:T\to X$(Wo$T=[0,1]$ist die Zeitdimension), die die Newtonschen Gesetze erfüllt:

$$m_i\ddot r_i(t)=F_i^t(r(t),t)\quad\quad \forall t\in T$$

Wir nehmen auch an, dass die Gesamtkraft$F^t$in der aufgebrachten Kraft trennbar ist$F$und Zwangskräfte$f$, folgendermaßen:$F^t=F+f$, und dass sie konservativ sind, so dass$F^t=F+f=-\nabla V^t=-\nabla V-\nabla V^f$, Wo$V:X\to \mathbb R$. Ich werde nicht zeigen, sondern nur feststellen, dass dies impliziert, dass, wenn wir den Lagrangian definieren$L^t(r,\dot r,t)=T(\dot r)-V^t(r,t)$Und$L(r,\dot r,t)=T(\dot r)-V(r,t)$dann passend

$$\frac d {dt} L^t_{\dot r_i}(r(t),\dot r(t),t)=L^t_{r_i}(r(t),\dot r(t),t)\quad\quad \forall i,t.$$

Darüber hinaus gehen wir davon aus, dass tatsächlich der Pfad$r$ist auf einen Unterraum beschränkt$S\subseteq X$, was als Ergebnis der Beschränkungskräfte geschieht (ich gebe die Beschränkungen nicht explizit an, sondern nur den Unterraum S, der sie erfüllt). Wir können den Weg beschreiben$r$in verschiedenen Koordinaten, die auf diesen Unterraum S abgebildet werden: Wir haben einen alternativen Koordinatenraum$Q=\mathbb R^m$für$m\leq n$und eine (zeitvariable) Koordinatentransformation$r:Q\times T\to S$, zusammen mit einem Pfad$q:T\to Q$(zu interpretieren als der gleiche Pfad in den neuen Koordinaten), so dass:

$$r(t)=r(q(t),t)\quad \forall t\in T$$ Daraus können wir leicht ableiten$\dot r$als Funktion von$q$Koordinaten, durch Definition$\dot r_i(q,\dot q, t)=\sum_j\frac {\partial r_i(q,t)}{\partial q_j} \dot q_j+\frac {\partial R_i}{\partial t}$(es kann leicht gezeigt werden, dass dies funktioniert).

Lagrange in verallgemeinerten Koordinaten$q$

Ich definiere jetzt den "abgeleiteten" Lagrangian$L(q,\dot q, t)=L(r(q(t),t),\dot r(q(t),\dot q(t),t),t)$

Wir werden nun zeigen, dass die Euler-Lagrange-Gleichungen auch in verallgemeinerten Koordinaten gelten$q$:

$$\frac d {dt} L_{\dot q_j}(q(t),\dot q(t),t)=L_{q_j}(q(t),\dot q(t),t)\quad\quad \forall j,t.$$

Wir erweitern einfach beide Seiten und nutzen die Tatsache, dass$L^t=L+V^f$Und$\frac d {dt}L^t_{\dot r_i}=\frac d {dt}L_{\dot r_i}$) und zeigen vier Gleichheiten:

$$\begin{align}\frac d {dt} L_{\dot q_j}(q(t),\dot q(t),t)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad= \frac d {dt}\left[\sum_i L_{\dot r_i} \frac {\partial \dot r_i}{\partial \dot q_j} \right]&= \sum_i \underset{=}{\underbrace{\left[\frac d {dt}L^t_{\dot r_i}\right]}} \underset{=}{\underbrace{\frac {\partial \dot r_i}{\partial \dot q_j}}} + L_{\dot r_i} \underset{=}{\underbrace{\left[\frac d {dt}\frac {\partial \dot r_i}{\partial \dot q_j} \right]}}\\ L_{q_j}(q(t),\dot q(t),t)=\sum_i {\left[L^t_{r_i}+\nabla V^f\right]} {\frac {\partial r_i}{\partial q_j}} +L_{\dot r_i} {\left[\frac {\partial \dot r_i}{\partial q_j} \right]} &=\sum_i \;\;\;\overbrace{\left[L^t_{r_i}\right]} \;\;\;\overbrace{\frac {\partial r_i}{\partial q_j}} +\; L_{\dot r_i} \;\; \overbrace{\left[\frac {\partial \dot r_i}{\partial q_j} \right]} \;\;-\;\;\overset {=\;0}{\overbrace{ \sum_i f_i\frac {\partial r_i}{\partial q_j}}} \end{align}$$

Die drei Gleichheiten folgen aus dem Folgenden:

• Die erste Gleichheit ist einfach die Euler-Lagrange-Gleichung für Koordinaten$r$.

• Die zweite Gleichheit folgt aus einfachem Differenzieren$\dot r(q,\dot q,t)$wrt$\dot q$.

• Die dritte Gleichheit folgt aus der zweiten Gleichheit und einfacher Differentiation.

• Die vierte Gleichheit entspricht der Annahme einer virtuellen Arbeit von Null für die Zwangskräfte, obwohl ich das Konzept der virtuellen Arbeit nicht verwendet habe, um es anzugeben.

Abschluss

Mir scheint, dass ich das gewünschte Ergebnis erzielt habe, ohne das Konzept der virtuellen Arbeit zu verwenden, und auf eine Weise, die einfacher ist, als wenn wir es verwenden würden. Ist diese Ableitung richtig? Übersehe ich etwas?