Anwendung von Lagrange-Multiplikatoren im Aktionsprinzip

In Goldsteins Classical Mechanics schlägt er die Verwendung von Lagrange-Multiplikatoren vor, um bestimmte Arten von nicht-holonomen und holonomen Beschränkungen in unser Handeln einzuführen. Die Methode, die er vorschlägt, besteht darin, eine modifizierte Lagrange-Funktion zu definieren

$$L^{'}(\dot{q},q;t) = L(\dot{q},q;t) + \sum^{m}_{i = 1}\lambda_{i} f_{i}(\dot{q},q;t),$$ Wo$f_{i}(\dot{q},q;t)$Sind$m$Zwangsgleichungen und$L$der ursprüngliche Lagrange. Anschließend definiert er die Aktion$S^{'} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}L^{'}\,dt$und nimmt die Variation von$S^{'}$Null sein, womit das Hamilton-Prinzip angewendet wird.

Meine Verwirrung bei diesem Ansatz ergibt sich aus der Art und Weise, wie die Lagrange-Multiplikatoren eingeführt werden. Ich verstehe nicht warum$\sum^{m}_{i = 1}\lambda_{i} f_{i}(\dot{q},q;t)$sollte innerhalb des Integrals eingeführt werden.

In der Berechnung mit mehreren Variablen beruht das Lagrange-Multiplikatorsystem auf der Idee, dass, wenn wir eine Funktion, die bestimmten Einschränkungen unterliegt, extremisieren möchten, der Gradient der Funktion proportional zu einer Linearkombination des Gradienten der Einschränkungsgleichungen ist. Hier ist die fragliche Funktion die Aktion , nicht die Lagrange-Funktion. Ich denke also, dass die Auflösung so sein sollte

$$\delta S + \delta \sum^{m}_{i = 1}\lambda_{i} f_{i}(\dot{q},q;t) = 0;\, S = \int_{t_{1}}^{t_{2}}L\,dt$$ und nicht $$\delta S^{'} = 0; \, S = \int_{t_{1}}^{t_{2}}L^{'}\,dt.$$

Mir ist nicht klar, ob dies sinnvoll ist oder ob die beiden Methoden gleichwertig sind.