Sind die verallgemeinerten Koordinaten in der Lagrange-Mechanik wirklich unabhängig?

Question

Sind die verallgemeinerten Koordinaten in der Lagrange-Mechanik wirklich unabhängig?

Aktion
Physik
klassische Mechanik
eingeschränkte Dynamik
lagrangianischer Formalismus
Variationsprinzip

anon123

In Goldsteins Classical Mechanics , Kapitel 2.3: Ableitung der Lagrange-Gleichungen aus dem Hamilton-Prinzip beinhaltet ein Teil der Ableitung, dass jede der verallgemeinerten Koordinaten unabhängig ist.

\begin{matrix} (2.17) & δ J = \int_{1}^{2} \sum_{ich} (\frac{\partial F}{\partial j_{ich}} - \frac{D}{D X} \frac{\partial F}{\partial {\dot{j}}_{ich}}) δ j_{ich} D X, \end{matrix}

$\begin{equation*} \delta J = \int_{1}^{2} \sum_i \bigg(\frac{\partial f}{\partial y_i} - \frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial \dot{y}_i}\bigg)\ \delta y_i\ dx, \tag{2.17} \end{equation*}$ „Da die y-Variablen unabhängig sind, sind die Variationen

δ y_{i}

$\delta y_i$ sind unabhängig. Daher ist durch eine offensichtliche Erweiterung des fundamentalen Lemmas die Bedingung that

δ J

$\delta J$ Null ist erfordert, dass die Koeffizienten der

δ y_{i}

$\delta y_i$ separat verschwinden: "

\begin{matrix} (2.18) & \frac{\partial F}{\partial j_{ich}} - \frac{D}{D X} \frac{\partial F}{\partial {\dot{j}}_{ich}} = 0, ich = 1, 2, . . ., N . \end{matrix}

$\newcommand{\vect}[1]{\boldsymbol{#1}} \begin{equation} \frac{\partial f}{\partial y_i} - \frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial \dot{y}_i} = 0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ i = 1, 2, . . ., n. \tag{2.18} \end{equation}$

Meine Fragen:

Wie genau funktioniert die Unabhängigkeit von $\delta y_i$ bedeuten, dass die Koeffizienten verschwinden?
Gegebene Beziehungen $y_i=y_i(x)$ für $i = 1, 2, ..., n$ können wir nicht immer eine Beziehung finden $y_i = y_i(y_1, y_2, ..., y_{j \neq i}, ..., y_n)$ ? Zum Beispiel, wenn wir Funktionen haben $y_1 = x^2$ Und $y_2 = x^4$ Wir können eine Beziehung finden $y_2 = y_1^2$ , was zeigt, dass diese Funktionen abhängig sind. Wird dies bei der Ableitung der Lagrange-Gleichungen behandelt? (Denk daran, dass $x$ bedeutet $t$ , ich benutze nur $x$ denn das ist es, was Goldstein verwendet).
In Goldstein Kapitel 1.3 werden wir in die Nebenbedingungsgleichungen eingeführt: $f(\vect{r_1}, \vect{r_2}, \vect{r_3}, ..., t) = 0$ . Gibt es einen Grund, warum Derivate von $\vect{r_i}$ sind nicht dabei? (Hat dies Auswirkungen auf die Verringerung der Freiheitsgrade?)
Gibt es formale (mathematische) Gründe dafür, warum die Beschränkungsgleichungen die Anzahl der Koordinaten (und Freiheitsgrade) reduzieren?

Ich kenne nur Multivariablen- und Vektorrechnung, also wäre es hilfreich, wenn Sie bei Begriffen aus diesen beiden Themen bleiben würden.

Außerdem: Ich frage NICHT nach der Unabhängigkeit der verallgemeinerten Positionen und Geschwindigkeiten (dazu gibt es schon genug Fragen).

Antworten (2)

Sind die verallgemeinerten Koordinaten in der Lagrange-Mechanik wirklich unabhängig?

Ari · Answer 1

Beantwortung Ihrer Fragen der Reihe nach:

Die Gleichung (2.17) sagt uns, dass die Integration einer Größe gleich deltaJ ist, das wir letztendlich auf Null setzen. Nun ist diese Integration null, unabhängig davon, welche Grenzen wir für x setzen. Der Grund muss also eindeutig sein, dass der Integrand selbst Null ist. Nun ist der Integrand hier die Summe der Koeffizienten von deltaY. Wenn deltaY nicht unabhängig sind, kann es passieren, dass eine clevere Kombination von ihnen die anderen aufhebt und das Ganze zu Null macht. Aber da sie unabhängig sind (unter unserer Annahme einer verallgemeinerten Koordinate), kann ihre Summe nur dann Null sein, wenn sie einzeln Null sind, was zur Lagrange-Gleichung führt.
Was bedeutet die Unabhängigkeit von Koordinaten ? Das bedeutet nicht , dass, sobald Sie die Dynamik gelöst haben, dh Sie haben y(x) für alle x gefunden, es keine Beziehung zwischen ihnen geben wird. Natürlich wird es eine Beziehung geben (wie kompliziert sie auch sein mag). Aber was es bedeutet, ist, dass Sie bei einer gegebenen n-1-Koordinate, wenn ich Sie bitte, "n" y-Koordinate zu finden, es nicht können. Einfach, weil dann das "n"-te y jeden möglichen Wert haben kann. Warum ist das so? Denn denken Sie daran, dass wir keine "n" Koordinaten hatten, als wir anfingen, wir hatten viel mehr. Wir haben alle ihre internen Beziehungen verbraucht, um die Anzahl der Variablen zu verringern. Jetzt ist alles, was wir haben, rein unabhängig, dh sie können jeden Wert annehmen, selbst wenn wir alle anderen Koordinaten angegeben haben.
Beschränkungsbeziehungen im Allgemeinen können höhere Ableitungen von r haben, was Goldstein ausführlich erläuterte. Sogar einige Beschränkungen können die Form von Ungleichheit annehmen. Für den ersten Fall verwenden wir eine modifizierte Form der Lagrange-Gleichung.
Die 4. Frage ist offensichtlich. Tatsächlich ist dies die Art von Argumentation, die Sie in der zweiten Frage verwendet haben, wenn Sie x als eine andere variable Koordinate annehmen. In diesem Fall war Ihre verallgemeinerte Koordinate x(sagen wir) und Ihr 3-Koordinatensystem y1, y2, x hatte 2 Einschränkungsbeziehungen y1 = y1(x) und y2 = y2(x). Diese beiden reduzierten die Anzahl der Euationen auf eins. Sie müssen nämlich jetzt nur noch nach der x-Variablen auflösen. Die anderen beiden werden automatisch definiert.

Mut · Answer 2

Wie genau funktioniert die Unabhängigkeit von $δy_i$ bedeuten, dass die Koeffizienten verschwinden?

lassen $S= \sum_i \bigg(\frac{\partial f}{\partial y_i} - \frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial \dot{y}_i}\bigg)\ \delta y_i = 0$ (Da das Integral von $S$ ist Null $^{[1]}$ )

Skalarprodukt von $S$ mit $\delta y_m$

\begin{matrix} (1) & S \cdot δ j_{M} = \sum_{ich} (\frac{\partial F}{\partial j_{ich}} - \frac{D}{D X} \frac{\partial F}{\partial {\dot{j}}_{ich}}) δ j_{ich} \cdot δ j_{M} = (\frac{\partial F}{\partial j_{ich}} - \frac{D}{D X} \frac{\partial F}{\partial {\dot{j}}_{ich}}) = 0 \end{matrix}

$S \cdot \delta y_m=\sum_i \bigg(\frac{\partial f}{\partial y_i} - \frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial \dot{y}_i}\bigg)\ \delta y_i \cdot \delta y_m = \bigg(\frac{\partial f}{\partial y_i} - \frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial \dot{y}_i}\bigg) \tag{1}=0$

Da unabhängige Variablen implizieren, dass sie orthogonal sind, ist die RHS nur für ungleich Null $i=m$ , (andere Terme verschwinden, da sie orthogonal sind)

Gegebene Beziehungen $y_i=y_i(x)$ für $i=1,2,...,n$ können wir nicht immer eine Relation y_i = finden $y_i(y_1, y_2, ..., y_{j \neq i}, ..., y_n)?$ Zum Beispiel, wenn wir Funktionen haben $y1=x2$ Und $y2=x4$ Wir können eine Beziehung finden $y_2=y_{21}$ , was zeigt, dass diese Funktionen abhängig sind. Wird dies bei der Ableitung der Lagrange-Gleichungen behandelt? (Denken Sie daran, dass x t bedeutet, ich verwende nur x, weil Goldstein das verwendet).

Denken Sie daran, dass dies virtuelle Variationen sind und keine tatsächlichen , hier fixieren Sie eine der Variablen und versuchen, die andere zu variieren, da Sie eine von ihnen fixieren, können Sie die andere nach Belieben variieren (wieder in Harmonie mit der Einschränkungen)

In Goldstein Kapitel 1.3 werden wir in die Nebenbedingungsgleichungen eingeführt: f(r1,r2,r3,...,t)=0. Gibt es einen Grund, warum Ableitungen von ri nicht enthalten sind? (Hat dies Auswirkungen auf die Verringerung der Freiheitsgrade?)

wenn die Nebenbedingungsgleichung die Form hätte

$f(q_1, q_2, q_3, \cdots, \dot q_1, \dot q_2,\dot q_3 ..., t) = 0$

Die Variation $\delta f$ wird einfach sein

δ F = \sum_{ich}^{N} \frac{\partial F}{\partial Q_{ich}} δ Q_{ich} + \frac{\partial F}{\partial {\dot{Q}}_{ich}} δ {\dot{Q}}_{ich} + \frac{\partial F}{\partial T}

$\delta f=\sum_i^N \frac{\partial f}{\partial q_i} \delta q_i + \frac{\partial f}{\partial \dot q_i} \delta \dot q_i +\frac{\partial f}{\partial t}$

Und die Variation der Aktion gibt

$\delta L + \lambda \delta f=0$

Alle Beschränkungen reduzieren die Freiheitsgrade

Gibt es formale (mathematische) Gründe dafür, warum die Beschränkungsgleichungen die Anzahl der Koordinaten (und Freiheitsgrade) reduzieren?

Vermuten

R_{ich} = R_{ich} (Q_{1}, Q_{2}, \dots, Q_{N})

$r_i=r_i(q_1,q_2,\cdots, q_n)$

$i=1,2, \cdots 3N$

da ein System von $N$ freie Teilchen haben können $3N$ Freiheitsgrade

Und nehme an, es gibt sie $m$ Einschränkungen

F_{J} = F_{J} (Q_{1}, Q_{2}, \dots, Q_{N})

$f_j=f_j(q_1,q_2,\cdots, q_n)$

$j=1,2, \cdots m$

Jetzt nicht alle $n$ Variablen sind aufgrund der Beschränkungen unabhängig und die Anzahl unabhängiger Gleichungen wird daher auf reduziert $3N-m$

Danke für Ihre Antwort. Bei meiner zweiten Frage habe ich das Gefühl, ich sollte klarer sein. Mein Punkt war: Nach dem Lösen der EOMs sollten wir n Gleichungen erhalten $y_1(t), y_2(t), ..., y_n(t)$ . Und indem man diese Gleichungen irgendwie kombiniert, um sie zu eliminieren $t$ Wir sollten Beschränkungsgleichungen in Form von erhalten $f(r_1, r_2, ..., \dot{r}_1, \dot{r}_2, ..., \dot{\dot{r}}_1, \dot{\dot{r}}_2, ..., t) = 0$ Dienen diese Gleichungen nicht als Methode zur Eliminierung von Koordinaten? Zeigen sie nicht die Abhängigkeit der Koordinaten?
Aber zunächst behandeln Sie sie als unabhängig, da Sie nicht wissen würden, wie sie verwandt sind, und Sie versuchen zu erraten, welchen Weg es nimmt, indem Sie alle möglichen Wege gehen, aber es stellt sich heraus, dass sie immer variieren, um die Aktion zu minimieren

Sind die verallgemeinerten Koordinaten in der Lagrange-Mechanik wirklich unabhängig?

anon123

Antworten (2)

Ari

Mut

anon123

Mut

Was sind Lagrange-Multiplikatoren in Bezug auf holonome Beschränkungen in der klassischen Mechanik?

Anwendung von Lagrange-Multiplikatoren im Aktionsprinzip

Verwirrung um virtuelle Verschiebungen

Ableitung der Euler-Lagrange-Gleichungen aus dem Hamilton- und dem D'Alembert-Prinzip

Warum muss die Gesamtaktion ein Extremum haben?

Warum wird die Formel für die stationäre Wirkung als kinetische minus potentielle Energie anstelle von potentieller minus kinetischer Energie ausgedrückt?

Welche Bedeutung hat Handeln?

Nachweis der Unabhängigkeit der Lagrangefunktion von der Position eines freien Teilchens unter Verwendung der Euler-Lagrange-Gleichung

Müssen die abwechslungsreichen Wege im Geschehen körperlich möglich sein?

Verwirrung um das Prinzip der kleinsten Wirkung in Landau & Lifshitz "The Classical Theory of Fields"