Frage zu holonomen Zwangsbedingungen

Es ist ein grundlegendes Ergebnis$^1$in der Theorie der eingebetteten differenzierbaren Untermannigfaltigkeiten, dass sie äquivalent beschrieben werden können

• örtlich$^2$als parametrisierte Untermannigfaltigkeit/Graph,

• oder lokal als eingeschränkte Untermannigfaltigkeit.

Beispiel: Eine Ellipse in der 2D-Ebene kann entweder durch eine Parametrisierung beschrieben werden$(x,y)=(a\cos\theta,b\sin\theta)$oder über eine Einschränkung$(x/a)^2+(y/b)^2=1$.

Je nach Anwendung können beide Bezeichnungen sinnvoll sein. Oft ist es am einfachsten, die Beschreibung mit so wenigen Variablen wie möglich zu verwenden. Wenn eine der Beschreibungen fehlschlägt, bedeutet dies, dass einige der technischen Regularitätsbedingungen (die in Goldstein meist implizit angenommen werden) nicht erfüllt sind, vgl. zB this & this Phys.SE Beiträge.

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$^1$Dieses Ergebnis ist in jedem anständigen Lehrbuch der Differentialgeometrie (DG) enthalten. (Siehe zB Proposition 3.2.1 in Ben Andrews, Lectures on DG .) Das Hauptwerkzeug in seinem Beweis ist der Umkehrfunktionssatz .

$^2$Das Wort "lokal" bedeutet hier "in einer offenen Nachbarschaft".

Ich verstehe es so:

Beispiel: ein Partikel mit Kugelkoordinaten (parameter$r\,,\theta\,,\varphi$)

$$\vec{R}=\left[ \begin {array}{c} x\\ y\\ z\end {array} \right] =\left[ \begin {array}{c} r\cos \left( \theta \right) \sin \left( \varphi \right) \\ r\sin \left( \theta \right) \sin \left( \varphi \right) \\ r\cos \left( \varphi \right) \end {array} \right]\tag 1$$

wir können Gleichung (1) lösen für$r\,,\theta\,,\varphi$

$$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\tag 2$$ $$\theta=\arctan(x/y)\tag 3$$ $$\varphi=\frac{z}{x^2+y^2}\tag 4$$

die Zwangsgleichung

$$r^2-l^2\cos^2(\varphi)\cos(\theta)=0\tag 5$$

Jetzt können wir die verallgemeinerten Koordinaten wählen:

wenn wir Gleichung (5) lösen für$r$dann bekommen wir (3)$\quad q_1(x,y)=\theta$und (4)$\quad q_2(x,y,z)=\varphi$

wenn wir Gleichung (5) lösen für$\theta$dann bekommen wir (2)$\quad q_1(x,y,z)=r$und (4)$\quad q_2(x,y,z)=\varphi$

Und

wenn wir Gleichung (5) lösen für$\varphi$dann bekommen wir (2)$\quad q_1(x,y,z)=r$und (3)$\quad q_2(x,y)=\theta$

wir bekommen immer ein einzigartiges Ergebnis für$q_1(x,y,z)$Und$q_2(x,y,z)$und wir haben die "Inverse" des Positionsvektors und der Zwangsgleichung verwendet.

Ich denke , dass der Autor sich nur auf "sie" als die Zahlen bezieht, die Sie für die verschiedenen Variablen haben$Q=\{q_i\}$wobei Sie Recht haben, dass diese Nummern in diesem Zusammenhang nur über ihre Parametrierung Sinn machen$\mathbf r_i(Q)$und wenn Sie den Satz so verstehen, drückt er eine Tautologie aus und es sind keine weiteren Informationen erforderlich.

Wenn Sie jedoch ein wirklich einfaches System hätten, gibt es wahrscheinlich einige degenerierte Fälle, in denen nur die Gleichungen für diese Parameter nicht umkehrbar sind, ohne die Einschränkungen vollständig zu kennen. Zum Beispiel könnten wir zwei Partikel haben, die in 2D leben, eines ist gezwungen, auf der Linie zu leben$x=0$und der andere ist gezwungen, auf der Leitung zu leben$y=0$, und nehmen wir an, dass sie durch eine Feder mit Ruhelänge verbunden sind$\ell$. Wir wissen, dass wir dieses System mit zwei Variablen beschreiben können$(x, y)$und die Zuordnung von$(\mathbf r_1, \mathbf r_2) \mapsto (x, y)$wird sein

$$\big([x_1, y_1], [x_2, y_2]\big) \mapsto (x_1, y_2)$$ aber das entdecken$x_2=0, y_2=0$ist aufgrund dieser Funktion nicht direkt möglich; es ist nicht invertierbar.

Aber wenn das gesagt ist, ist dies in der Tat eine etwas unnatürliche Art, die Beschreibung zu beschreiben. Umso natürlicher$\mathbf r_i(Q)$Weg ist in der Tat zu spezifizieren

$$\mathbf r_1(x, y) = [x, 0]\\\mathbf r_2(x, y) = [0, y]$$ und dies verkörpert tatsächlich die Beschränkungen, und daher ist kein weiterer Verweis auf die Beschränkungen erforderlich, um die zu verwenden$x,y$um die Positionen zu bestimmen.

Antworten

Wir brauchen k Beschränkungsgleichungen, weil wir 3N Variablen finden müssen und wir keine 3N unabhängigen Koordinatengleichungen haben, sondern nur 3N-K ( von q3N-k ), die k Beschränkungen (wobei wir uns daran erinnern, dass Beschränkungen Beziehungen zwischen den Positionsvariablen (und möglicherweise der Zeit ) sind ) Goldstein Classical Mechanics 3ED S. 12) liefert einen Satz von k Gleichungen, die zusammen mit den 3N-K-Gleichungen unabhängiger Koordinaten einen Satz bilden, der das System eindeutig bestimmt (Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der unbekannten Variablen).

OBS:

der lokale Raum ist die Raumzeit von Minkowsk und erfordert daher die Koordinate der Zeit. Unser Problem reduziert sich darauf, 3 Koordinaten des lokalen Raums für jedes Teilchen zu entdecken.

Wie gehen wir mit zwei Raumsystemen um (lokal und verallgemeinert) müssen wir die inverse Transformation garantieren, die Rücktransformation ist im holonomen System gewährleistet.

Holonome Systeme werden im Gegensatz zu der von Hertz gegebenen Definition für nicht-holonome Systeme definiert (Nicht-holonome Systeme sind Systeme, bei denen die kinematischen Bedingungen nur Beziehungen zwischen Differentialen der Koordinaten und nicht als endliche Beziehungen zwischen den Koordinaten selbst angeben), daher holonom Systeme haben immer integrierbare Differentialfunktionen ∂F/(∂qi )dqi (i = 1 bis 3N-k), die die Rücktransformation erlauben.

Zur Erinnerung - Im holonomen System führen k Constraints zur Reduktion auf 3N-k unabhängige Koordinaten oder äquivalent zu rN Funktionen mit k impliziten Constraints (Goldstein Classical Mechanics 3ED p. 13), daher sind rN Funktionen nicht linear unabhängig, sondern äquivalent zu 3N- k Satz linear unabhängiger Gleichungen im verallgemeinerten Raum qi. Die k-Einschränkungen ermöglichen es Ihnen, die abhängigen Variablen zu eliminieren.