Ist jede Nebenbedingung, die nur zwei Koordinaten betrifft, integrierbar?

(Unter der Annahme der üblichen Stetigkeits- und Nichtsingularitätsbedingungen) Eine Differentialbeschränkung 1. Ordnung zweier Variablen$x$Und$y$kann geschrieben werden als

$$\begin{matrix}\omega = M(x,y)dx + N(x,y)dy=0& [1] \end{matrix}$$ Ordnen Sie [1] neu an $$\begin{matrix}\frac{dy}{dx} = -\frac{M(x,y)}{N(x,y)} & [2] \end{matrix}$$ das führt zu der Form einer normalen gewöhnlichen Differentialgleichung 1. Ordnung in einer abhängigen Variablen $y$und eine unabhängige Variable $x$, und eine, die eine Lösung mit einer gegebenen Anfangsbedingung hat $x_0,y_0$in der impliziten Form von $F(x,y)=k$für einige $k$das hängt von der Ausgangssituation ab. Diese implizite Gleichung ist eine Lösung von [1] und ist dann äquivalent zu $dF=0$oder in Koordinaten $$\begin{matrix}\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy=0 & [3]\end{matrix}$$ Aber [1] und [3] können gleichzeitig existieren, iff $\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{M(x,y)}=\frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{N(x,y)}=\lambda(x,y)$für einige $\lambda$das ist eben der für die Integration gesuchte Multiplikator, dh $$\begin {matrix}dF=\lambda\omega & [4]\end {matrix}$$

Kommentare zum Beitrag (v2):

1. Beachten Sie, dass Goldstein später in Gl. (2.20') diskutiert systematischer halbholonome Nebenbedingungen, die von der Zeit abhängen dürfen$t$. Auf Seite 15 geht Goldstein jedoch implizit davon aus, dass es keine explizite gibt$t$-Abhängigkeit, dh es gibt nur 2 verallgemeinerte Koordinaten, sagen wir$x$Und$y$, ohne Zeit$t$. Die semi-holonomische Einschränkung tötet als nächstes 1 dof

2. Goldstein ist ein Lehrbuch der Physik (und nicht der Mathematik). Der Leser soll die mathematischen Mängel selbst herausfinden! So gibt es zB implizite Regularitätsbedingung (wie zB Differenzierbarkeit). Siehe auch diesen und diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

3. Insbesondere kann es zu globalen Hindernissen kommen. Was Goldstein zu vermitteln versucht, ist die Tatsache, dass ein ungenaues Differential

   $$\omega~=~f(x,y)\mathrm{d}x+g(x,y)\mathrm{d}y\tag{A}$$ auf einer zweidimensionalen Mannigfaltigkeit$M$(für einen Punkt$p\in M$mit$\omega_p\neq 0$nicht verschwindend) hat einen integrierenden Faktor $\lambda$(in einer ausreichend kleinen offenen Nachbarschaft$U\ni p$), das macht die Eins-Form$\left. \lambda\omega\right|_U$ genau . Die Bedingung $$\left(f\frac{\partial }{\partial y}- g\frac{\partial }{\partial x}\right)\ln\lambda~=~ \frac{\partial g}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}\tag{B}$$ für$\ln\lambda$ist eine lineare PDE erster Ordnung in 2 Variablen, von der man zeigen kann, dass sie lokale Lösungen hat. Ein exaktes Differential entspricht einer holonomen Zwangsbedingung .