Gibt es eine systematische Möglichkeit, Zwangsgleichungen abzuleiten?

Question

Gibt es eine systematische Möglichkeit, Zwangsgleichungen abzuleiten?

Anonym

Es gibt dieses Problem in Goldsteins (Klassische Mechanik) Ableitungen Abschnitt:

5. Zwei Radiusräder $a$ sind an den Enden einer gemeinsamen Längsachse montiert $b$ sodass sich die Räder unabhängig voneinander drehen. Die ganze Kombination rollt rutschfrei im Flugzeug. Zeigen Sie, dass es zwei nichtholonome Zwangsgleichungen gibt,

$\begin{aligned} \cos θ D X + Sünde θ D j & = 0 \\ Sünde θ D X - \cos θ D j & = \frac{1}{2} A (D ϕ + D ϕ^{'}), \end{aligned}$ $\begin{align} \cos\theta dx + \sin\theta dy &= 0 \\ \sin\theta dx - \cos\theta dy &= \frac{1}{2}a(d\phi + d\phi'), \end{align}$

(Wo $\theta$ , $\phi$ , Und $\phi'$ haben ähnliche Bedeutungen wie beim Problem einer einzelnen vertikalen Scheibe, und $(x,y)$ sind die Koordinaten eines Punktes auf der Achse in der Mitte zwischen den beiden Rädern) und eine holonome Zwangsgleichung,

$θ = C - \frac{A}{B} (ϕ - ϕ^{'}),$ $\theta = C - \frac{a}{b}(\phi - \phi'),$

Wo $C$ ist eine Konstante.

Und hier ist das Bild des Problems mit einer einzelnen vertikalen Festplatte:

Bild von Problem mit vertikaler Festplatte

Nun, ich glaube, ich habe die Gleichungen für zwei dieser Einschränkungen erfolgreich hergeleitet, aber ich schreibe es trotzdem, falls meine Argumentation irgendwie falsch oder zu schlampig ist. (Ich benutze die Etiketten $1$ Und $2$ für die Räder, statt ungrundiert und grundiert.)

\dot{X} = v Sünde θ

$\dot{x} = v \sin{\theta}$

\dot{j} = - v \cos θ

$\dot{y} = -v \cos{\theta}$

⟹ \cos θ D X + Sünde θ D j = 0

$\implies \color{red}{\cos{\theta} \, dx + \sin{\theta} \, dy = 0}$ Und die zweite: Durch Drehen der Räder um den Mittelpunkt

(x, y)

$(x,y)$ , der Winkel

θ

$\theta$ ändert sich so

D θ = \frac{2}{B} D l

$d \theta = \frac{2}{b} \, dl$ Wo

d l

$dl$ ist die Länge des von beiden Rädern überstrichenen Bogens, befriedigend

D l = v_{1} D T = - v_{2} D T

$dl = v_1 \, dt = - v_2 \, dt$ weil sich die Räder mit antiparallelen Geschwindigkeiten drehen.

D l = v_{1} D T = A \frac{D ϕ_{1}}{D T} D T = A D ϕ_{1}

$dl = v_1 \, dt = a \frac{d \phi_1}{dt} \, dt = a \, d\phi_1$

D l = - v_{2} D T = - A \frac{D ϕ_{2}}{D T} D T = - A D ϕ_{2}

$dl = -v_2 \, dt = -a \frac{d \phi_2}{dt} \, dt = -a \, d\phi_2$

⟹ D θ = - \frac{A}{B} (D ϕ_{1} - D ϕ_{2}),

$\implies \color{red}{d\theta = -\frac{a}{b} (d \phi_1 - d \phi_2) },$ was die holonome Zwangsgleichung mit umgekehrten Vorzeichen impliziert. (Ich schätze, ich habe einfach verschiedene Labels ausgewählt, oder?)

Wie bekomme ich den letzten? Ich habe nicht viel Erfahrung mit dieser Art von Problemen, also habe ich mich gefragt, ob es einen systematischen Weg gibt, sie anzugehen, oder ist es immer nur ein Hacken des Problems, in der Hoffnung, die Beschränkungsgleichungen herauszuziehen?

PS Meine Frage wurde aus politischen Gründen bearbeitet, aufgrund derer ich einige Fragen nicht stellen kann, daher möchte ich sagen, dass ich nicht wissen möchte, ob meine Argumentation für die Ableitung der ersten beiden Einschränkungen richtig ist. :)

BEARBEITEN, BITTE LESEN: Obwohl ich meine eigene Frage zu dem hier erwähnten spezifischen Problem beantwortet habe, werde ich stattdessen diese Antwort akzeptieren, wenn jemand eine gute Antwort auf eine systematische Methode zum Ableiten von Beschränkungsgleichungen gibt.

David z

Die erste Ihrer drei Fragen und bis zu einem gewissen Grad die zweite sind im Rahmen unserer Hausaufgabenrichtlinie nicht zum Thema , aber anstatt die Frage auf Eis zu legen, habe ich sie bearbeitet, um sie auf die zugrunde liegende konzeptionelle Frage zu reduzieren.

Benutzer20250

Ich bin dankbar für Eure Barmherzigkeit, Mylord, denn ich bin nur ein Sterblicher, ich werde Euch nicht in Frage stellen.

David z

lol ;-) Im Ernst, Sie können die Frage weiter bearbeiten, wenn Sie möchten. Einschließlich des Zurücksetzens meiner Bearbeitung, wenn es Ihnen wirklich nicht gefällt, aber ich denke, ich würde die ursprüngliche Version der Frage zurückstellen.

Benutzer20250

Genau, was soll das?

MüllcontainerDoofus

@SchlomoSteinbergerstein: Es scheint, als wäre die Hauptfrage, die Sie haben, nicht "Ist meine Ableitung korrekt?", sondern die breiter anwendbare Frage: "Gibt es einen systematischen Weg, sie anzugehen, oder ist es immer nur ein Hacken des Problems in der Hoffnung um die Beschränkungsgleichungen herauszuziehen?", dh Sie fragen sich, ob es ein automatisierbares Verfahren gibt, das auf eine breite Klasse von Problemen angewendet werden kann, nicht nur auf dieses eine. Obwohl ich die Antwort darauf nicht kenne, denke ich, dass Sie vielleicht den Satz " Gibt es einen systematischen Weg ..." fett setzen, um ihn hervorzuheben, oder so.

MüllcontainerDoofus

@SchlomoSteinbergerstein: Allgemein anwendbare Fragen wie diese sind hier normalerweise sehr beliebt und werden fast immer als themenbezogen betrachtet, da sie das Potenzial haben, vielen Menschen zu helfen.

Benutzer20250

Oh zum Teufel mit Ihrer Richtlinie, was ist mit Tausenden anderer Fragen, die dieser ähnlich sind? Ich hätte meine Frage auch implizit stellen können ... warum ist es wichtig, wenn ich sie der Klarheit halber ausdrücklich sage? Und wer sagt, dass eine Antwort auf diese Frage nicht allgemeingültig wäre, viele Antworten dieser Art haben mir sehr geholfen, auch wenn sie nicht ein konkretes Problem betrafen, mit dem ich mich beschäftigte. Glauben Sie wirklich, dass diese Art von Politik die Qualität der Website tatsächlich verbessert und allen hilft?

Benutzer20250

Ich habe auch gefragt: "Gibt es einen systematischen Weg ...", aber ich wollte nur, dass jemand meine Argumentation für die vorherige Ableitung bestätigt. Ich hätte auch später in den Kommentaren fragen können, was wäre der Unterschied? Ihr seid wirklich zu pedantisch, das ist kontraproduktiv und ehrlich gesagt ärgerlich, wenn man bedenkt, dass meine Frage im Vergleich zu vielen anderen Fragen, die den Zorn der Moderatoren erregen, ziemlich anständig ist.

Benutzer20250

(Jetzt lass es einfach und moderiere etwas, das es wert ist, moderiert zu werden.)

Antworten (1)

Gibt es eine systematische Möglichkeit, Zwangsgleichungen abzuleiten?

Die erste Ihrer drei Fragen und bis zu einem gewissen Grad die zweite sind im Rahmen unserer Hausaufgabenrichtlinie nicht zum Thema , aber anstatt die Frage auf Eis zu legen, habe ich sie bearbeitet, um sie auf die zugrunde liegende konzeptionelle Frage zu reduzieren.
Ich bin dankbar für Eure Barmherzigkeit, Mylord, denn ich bin nur ein Sterblicher, ich werde Euch nicht in Frage stellen.
lol ;-) Im Ernst, Sie können die Frage weiter bearbeiten, wenn Sie möchten. Einschließlich des Zurücksetzens meiner Bearbeitung, wenn es Ihnen wirklich nicht gefällt, aber ich denke, ich würde die ursprüngliche Version der Frage zurückstellen.
@SchlomoSteinbergerstein: Es scheint, als wäre die Hauptfrage, die Sie haben, nicht "Ist meine Ableitung korrekt?", sondern die breiter anwendbare Frage: "Gibt es einen systematischen Weg, sie anzugehen, oder ist es immer nur ein Hacken des Problems in der Hoffnung um die Beschränkungsgleichungen herauszuziehen?", dh Sie fragen sich, ob es ein automatisierbares Verfahren gibt, das auf eine breite Klasse von Problemen angewendet werden kann, nicht nur auf dieses eine. Obwohl ich die Antwort darauf nicht kenne, denke ich, dass Sie vielleicht den Satz " Gibt es einen systematischen Weg ..." fett setzen, um ihn hervorzuheben, oder so.
@SchlomoSteinbergerstein: Allgemein anwendbare Fragen wie diese sind hier normalerweise sehr beliebt und werden fast immer als themenbezogen betrachtet, da sie das Potenzial haben, vielen Menschen zu helfen.
Oh zum Teufel mit Ihrer Richtlinie, was ist mit Tausenden anderer Fragen, die dieser ähnlich sind? Ich hätte meine Frage auch implizit stellen können ... warum ist es wichtig, wenn ich sie der Klarheit halber ausdrücklich sage? Und wer sagt, dass eine Antwort auf diese Frage nicht allgemeingültig wäre, viele Antworten dieser Art haben mir sehr geholfen, auch wenn sie nicht ein konkretes Problem betrafen, mit dem ich mich beschäftigte. Glauben Sie wirklich, dass diese Art von Politik die Qualität der Website tatsächlich verbessert und allen hilft?
Ich habe auch gefragt: "Gibt es einen systematischen Weg ...", aber ich wollte nur, dass jemand meine Argumentation für die vorherige Ableitung bestätigt. Ich hätte auch später in den Kommentaren fragen können, was wäre der Unterschied? Ihr seid wirklich zu pedantisch, das ist kontraproduktiv und ehrlich gesagt ärgerlich, wenn man bedenkt, dass meine Frage im Vergleich zu vielen anderen Fragen, die den Zorn der Moderatoren erregen, ziemlich anständig ist.
(Jetzt lass es einfach und moderiere etwas, das es wert ist, moderiert zu werden.)

Benutzer20250 · Answer 1

Verstanden, ich habe einen viel besseren Weg gefunden, um dieses Problem zu lösen, der meinen Wunsch beseitigt, meine vorherige Argumentation zu bestätigen, und er beantwortet teilweise die Frage, die mir die Politik der Moderatoren aufgezwungen hat, die nur eine Nebenfrage zu der Hauptsache war, die ich wollte zu fragen, nämlich mir bei der Lösung dieses Problems zu helfen ... Deshalb mag diese Antwort so aussehen, als würde sie den Punkt verfehlen, ist es aber nicht. Wie auch immer, hier ist meine Antwort:

Die Kontaktpunkte der Räder mit der $xy$ Ebene haben diese Koordinaten für das untere (1) bzw. das obere (2) Rad:

(X_{1}, j_{1}) = (X - \frac{B}{2} \cos θ, j - \frac{B}{2} Sünde θ)

$(x_1,y_1) = \left(x-\frac{b}{2}\cos{\theta},\, y - \frac{b}{2}\sin{\theta}\right)$

(X_{2}, j_{2}) = (X + \frac{B}{2} \cos θ, j + \frac{B}{2} Sünde θ)

$(x_2,y_2) = \left(x+\frac{b}{2}\cos{\theta},\, y + \frac{b}{2}\sin{\theta}\right)$ Wenn man die Zeit nimmt, erhält man Derivate:

(\dot{X_{1}}, \dot{j_{1}}) = (\dot{X} + \frac{B}{2} \dot{θ} Sünde θ, j - \frac{B}{2} \dot{θ} \cos θ)

$(\dot{x_1},\dot{y_1}) = \left(\dot{x}+\frac{b}{2}\dot{\theta}\sin{\theta}, \, y - \frac{b}{2}\dot{\theta}\cos{\theta}\right)$

(\dot{X_{2}}, \dot{j_{2}}) = (\dot{X} - \frac{B}{2} \dot{θ} Sünde θ, j + \frac{B}{2} \dot{θ} \cos θ)

$(\dot{x_2},\dot{y_2}) = \left(\dot{x}-\frac{b}{2}\dot{\theta}\sin{\theta}, \, y + \frac{b}{2}\dot{\theta}\cos{\theta}\right)$ Außerdem haben wir diese Beziehungen:

(\dot{X_{1}}, \dot{j_{1}}) = (v_{1} Sünde θ, - v_{1} \cos θ) = (A \dot{ϕ_{1}} Sünde θ, - A \dot{ϕ_{1}} \cos θ)

$(\dot{x_1},\dot{y_1}) = (v_1 \sin{\theta}, -v_1 \cos{\theta}) = (a \dot{\phi_1} \sin{\theta}, -a \dot{\phi_1} \cos{\theta})$

(\dot{X_{2}}, \dot{j_{2}}) = (v_{2} Sünde θ, - v_{2} \cos θ) = (A \dot{ϕ_{2}} Sünde θ, - A \dot{ϕ_{2}} \cos θ)

$(\dot{x_2},\dot{y_2}) = (v_2 \sin{\theta}, -v_2 \cos{\theta}) = (a \dot{\phi_2} \sin{\theta}, -a \dot{\phi_2} \cos{\theta})$ Von dort aus beseitigen

d t

$dt$ und das Durchführen einfacher algebraischer Manipulationen ergibt:

D X = Sünde θ (- \frac{B}{2} D θ + A D ϕ_{1})

$dx = \sin{\theta}\left(-\frac{b}{2} d\theta + a \, d\phi_1\right)$

D X = Sünde θ (\frac{B}{2} D θ + A D ϕ_{2})

$dx = \sin{\theta}\left(\frac{b}{2} d\theta + a \, d\phi_2\right)$

D j = - \cos θ (- \frac{B}{2} D θ + A D ϕ_{1})

$dy = -\cos{\theta}\left(-\frac{b}{2} d\theta + a \, d\phi_1\right)$

D j = - \cos θ (\frac{B}{2} D θ + A D ϕ_{2})

$dy = -\cos{\theta}\left(\frac{b}{2} d\theta + a \, d\phi_2\right)$ Um die letzten drei Zwangsgleichungen zu erhalten, müssen diese einfach kombiniert werden, aber wenn jemand möchte, kann ich die Prozedur explizit aufschreiben.

Willkommen in der Welt der Kinematik. Hier parametrieren Sie eine Positionskoordinate und nehmen Ableitungen, um zu Geschwindigkeits- und Beschleunigungsbeziehungen zu gelangen.
Ja, manchmal ist es leicht, die offensichtlichste Methode zu übersehen xD

Gibt es eine systematische Möglichkeit, Zwangsgleichungen abzuleiten?

Anonym

David z

Benutzer20250

David z

Benutzer20250

MüllcontainerDoofus

MüllcontainerDoofus

Benutzer20250

Benutzer20250

Benutzer20250

Antworten (1)

Benutzer20250

John Alexiou

Benutzer20250

Bewegungsgleichungen für ein freies Teilchen auf einer Kugel

Können die Lagrange-Multiplikatoren von den Koordinaten abhängen?

Unterschiedliche Ergebnisse für den Hamiltonoperator einer Scheibe, die auf einer schiefen Ebene rollt

Wie findet man den Hamilton-Operator aus diesem einfachen Lagrange-Operator? (knifflig)

Ist jede Nebenbedingung, die nur zwei Koordinaten betrifft, integrierbar?

Lagrange-Übung von Goldstein

Berechnen Sie die Legendre-Transformation für eine singuläre Lagrange-Funktion

Entleerungsrad rollt ohne zu rutschen

Legendre Transformation von Lagrange mit Einschränkungen

Ein Pendel, das an einer Feder befestigt ist, und das gesamte System dreht sich mit Winkelgeschwindigkeit