Legendre Transformation von Lagrange mit Einschränkungen

Question

Legendre Transformation von Lagrange mit Einschränkungen

Viktor Selezny

Ich habe Probleme damit, einen Hamilton-Operator aus einem Lagrange-Operator mit Einschränkungen zu erhalten. Mein übergeordnetes Ziel ist es, eine hamiltonsche Beschreibung von drei Teilchen zu finden, unabhängig von Newtons Hintergrund und mit symmetrischen Beschränkungen für Orte und Impulse. Dazu beginne ich mit dem 3-Teilchen-Lagrangian

L = \frac{1}{2} \sum_{ich = 1}^{3} {\dot{X}}_{ich}^{2} - \frac{1}{2 \cdot 3} (\sum_{ich = 1}^{3} {\dot{X}}_{ich})^{2} - v ({X_{ich} - X_{J}})

$L= \frac{1}{2} \sum _{i=1}^3 \dot{x}_i^2 - \frac{1}{2\cdot 3} (\sum _{i=1}^3 \dot{x}_i)^2 - V(\{x_i - x_j\})$

die nur von relativen Größen abhängt, die aber immer noch bezüglich eines absoluten Bezugssystems definiert sind. Um diese (unphysikalischen) Abhängigkeiten loszuwerden, definiere ich neue Variablen:

X_{1} - X_{2} = Q_{3} X_{2} - X_{3} = Q_{1} X_{3} - X_{1} = Q_{2} X_{1} + X_{2} + X_{3} = Q_{C M} .

$x_1 - x_2 = q_3\\ x_2 - x_3 = q_1 \\ x_3 - x_1 = q_2\\ x_1 + x_2 + x_3 = q_{cm}.$

Die Rücktransformation ist nicht eindeutig definiert. Wir können wählen

X_{1} = \frac{1}{3} (Q_{C M} + Q_{3} - Q_{2}) X_{2} = \frac{1}{3} (Q_{C M} + Q_{1} - Q_{3}) X_{3} = \frac{1}{3} (Q_{C M} + Q_{2} - Q_{1})

$x_1 = \frac{1}{3} \left( q_{cm} + q_3 - q_2 \right) \\ x_2 = \frac{1}{3} \left( q_{cm} + q_1 - q_3 \right) \\ x_3 = \frac{1}{3} \left( q_{cm} + q_2 - q_1 \right)$

zusammen mit der Einschränkung

Q_{1} + Q_{2} + Q_{3} = Q = 0.

$q_1 + q_2 + q_3 = Q = 0.$

Daraus kann ich ableiten

{\dot{Q}}_{1} + {\dot{Q}}_{2} + {\dot{Q}}_{3} = \dot{Q} = 0.

$\dot{q}_1 + \dot{q}_2 + \dot{q}_3 = \dot{Q} = 0.$

Ich möchte jetzt die Lagrange-Funktion in die neuen Variablen umschreiben. Nach ein wenig Arbeit mit den Summen komme ich an

\tilde{L} (Q_{ich}, {\dot{Q}}_{ich}) = {\dot{Q}}_{1}^{2} + {\dot{Q}}_{2}^{2} + {\dot{Q}}_{3}^{2} - v (Q_{1}, Q_{2}, Q_{3})

$\tilde L(q_i, \dot{q}_i) = \dot q_1^2 + \dot q_2^2 + \dot q_3^2 - V(q_1,q_2,q_3)$

Aber jetzt weiß ich nicht: Ist der neue Lagrange von der Form

L_{T Ö T} = \tilde{L} + a Q

$L_{tot} = \tilde L + \alpha Q$

oder

L_{T Ö T} = \tilde{L} + a Q + β \dot{Q} ?

$L_{tot} = \tilde L + \alpha Q + \beta \dot{Q}~?$

In einem nächsten Schritt, und das ist der Kern meiner Frage, möchte ich aus diesem Lagrangeoperator den Hamiltonoperator und die konjugierten Impulse erhalten, habe aber keine Ahnung, wie ich die Nebenbedingungen behandeln soll. Ist es möglich, zu einem Hamilton-Operator zu gelangen, bei dem die Einschränkung gilt $Q=0$ gilt zusammen mit einer Einschränkung für die konjugierten Impulse? Für jede Hilfe wäre ich sehr dankbar!

Eine andere Möglichkeit, dies zu tun, könnte darin bestehen, die ursprüngliche Lagrange-Funktion neu zu transformieren und dann eine kanonische Transformation zu finden, die dasselbe Ergebnis hat. Aber wie dies erreicht werden konnte, ist mir noch mystischer.

Zu meinem Werdegang: Ich schreibe meine Masterarbeit in Physik zum Thema Quantum Reference Frames. Ich habe einige Kenntnisse über singuläre Lagrange-Operatoren und eingeschränkte Hamilton-Systeme (wie in den ersten Kapiteln von Henneaux und Teitelboims „Quantisierung von Eichsystemen“ behandelt). Und ich kenne die Grundlagen der Differentialgeometrie, aber ich bin nicht wirklich tiefgründig in diesem Thema .

Michael Seifert

Auf der Ebene der Lagrange-Funktion ist es unnötig, die Einschränkung durchzusetzen

\dot{Q} = 0

$\dot{Q} = 0$ wenn Sie die Einschränkung bereits erzwungen haben

Q = 0

$Q = 0$ . Mich würde jedoch interessieren, wie die resultierenden Hamiltonianer für die beiden Lagrangeianer ausfallen; es ist mir nicht sofort klar, ob sie am Ende des ganzen Dirac-Bergmann-Prozesses gleich aussehen würden.

Michael Seifert

Können Sie Ihre Frage so bearbeiten, dass sie die Form von enthält

L^{'}

$L'$ die Sie verwenden möchten, in Bezug auf die

q_{i}

$q_i$ und das

{\dot{q}}_{i}

$\dot{q}_i$ ? Es gibt keine einzigartige Art zu schreiben

x_{i} (q_{i})

$x_i(q_i)$ . Der natürlichste Weg wäre

X_{1} = \frac{1}{3} (Q_{C M} + Q_{3} - Q_{2}) X_{2} = \frac{1}{3} (Q_{C M} + Q_{1} - Q_{3}) X_{3} = \frac{1}{3} (Q_{C M} + Q_{2} - Q_{1})

$x_1 = \frac{1}{3} \left( q_{cm} + q_3 - q_2 \right) \\ x_2 = \frac{1}{3} \left( q_{cm} + q_1 - q_3 \right) \\ x_3 = \frac{1}{3} \left( q_{cm} + q_2 - q_1 \right)$ aber man könnte ergänzen

q_{1} + q_{2} + q_{3}

$q_1 + q_2 + q_3$ auf eine der rechten Seiten und die Gleichungen gelten immer noch.

Viktor Selezny

@MichaelSeifert Danke für dein Feedback. Ich habe genau diese Definition verwendet und werde die Frage bearbeiten, um sie klarer zu machen

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Legendre Transformation von Lagrange mit Einschränkungen

Auf der Ebene der Lagrange-Funktion ist es unnötig, die Einschränkung durchzusetzen $\dot{Q} = 0$ wenn Sie die Einschränkung bereits erzwungen haben $Q = 0$ . Mich würde jedoch interessieren, wie die resultierenden Hamiltonianer für die beiden Lagrangeianer ausfallen; es ist mir nicht sofort klar, ob sie am Ende des ganzen Dirac-Bergmann-Prozesses gleich aussehen würden.
Können Sie Ihre Frage so bearbeiten, dass sie die Form von enthält $L'$ die Sie verwenden möchten, in Bezug auf die $q_i$ und das $\dot{q}_i$ ? Es gibt keine einzigartige Art zu schreiben $x_i(q_i)$ . Der natürlichste Weg wäre $X_{1} = \frac{1}{3} (Q_{C M} + Q_{3} - Q_{2}) X_{2} = \frac{1}{3} (Q_{C M} + Q_{1} - Q_{3}) X_{3} = \frac{1}{3} (Q_{C M} + Q_{2} - Q_{1})$ $x_1 = \frac{1}{3} \left( q_{cm} + q_3 - q_2 \right) \\ x_2 = \frac{1}{3} \left( q_{cm} + q_1 - q_3 \right) \\ x_3 = \frac{1}{3} \left( q_{cm} + q_2 - q_1 \right)$ aber man könnte ergänzen $q_1 + q_2 + q_3$ auf eine der rechten Seiten und die Gleichungen gelten immer noch.
@MichaelSeifert Danke für dein Feedback. Ich habe genau diese Definition verwendet und werde die Frage bearbeiten, um sie klarer zu machen

Michael Seifert · Answer 1

Auf mathematischer Ebene unterscheidet sich ein Lagrange-Multiplikator im Lagrange nicht von einer "echten" Koordinate, deren Geschwindigkeit nicht im Lagrange erscheint, wie z $A_0$ im Kontext der Maxwell-Feldtheorie. Man kann daher einen Lagrange-Operator, der einen Lagrange-Multiplikator enthält, dem Standard-Hamilton-Dirac-Verfahren unterwerfen und einen entsprechenden beschränkten Hamilton-Operator erhalten. Ich skizziere die Hamilton-Dirac-Analyse für diese Lagrange-Funktion und überlasse die Details Ihnen.

Der transformierte Lagrange ist

L = \frac{1}{6} ({\dot{Q}}_{1}^{2} + {\dot{Q}}_{2}^{2} + {\dot{Q}}_{3}^{2}) - v (Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}) + a (Q_{1} + Q_{2} + Q_{3}),

$L = \frac{1}{6} (\dot{q}_1^2 + \dot{q}_2^2 + \dot{q}_3^2) - V(q_1, q_2, q_3) + \alpha (q_1 + q_2 + q_3),$ Wo

α

$\alpha$ ist ein Lagrange-Multiplikator.

Man kann einen Hamilton-Operator konstruieren, der dieselben Bewegungsgleichungen erzeugt, indem man alle Variablen, einschließlich des Lagrange-Multiplikators, so behandelt, als hätten sie konjugierte Impulse:

\begin{aligned} P_{ich} \equiv \frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{ich}} = \frac{1}{3} {\dot{Q}}_{ich} (ich & = 1, 2, 3) & P_{a} \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{a}} = 0 \end{aligned}

$\begin{align} p_i \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = \frac{1}{3} \dot{q}_i \, \, (i &= 1,2,3) & p_\alpha \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{\alpha}} = 0 \end{align}$ Da die letzte dieser Größen identisch verschwindet, ist dies daher eine primäre Nebenbedingung des Modells.

Der Basis-Hamiltonoperator des Modells ist dann (wie üblich)

H_{0} = \sum P_{ich} {\dot{Q}}_{ich} - L = \frac{3}{2} (P_{1}^{2} + P_{2}^{2} + P_{3}^{2}) - v (Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}) - a (Q_{1} + Q_{2} + Q_{3})

$H_0 = \sum p_i \dot{q}_i - L = \frac{3}{2} \left( p_1^2 + p_2^2 + p_3^2 \right) - V(q_1, q_2, q_3) - \alpha (q_1 + q_2 + q_3)$ aber dieser Hamiltonoperator wird im Allgemeinen nicht die korrekten Bewegungsgleichungen erzeugen (dh die Evolution wird im Allgemeinen die "Beschränkungsfläche" verlassen)

q_{1} + q_{2} + q_{3} = 0

$q_1 + q_2 + q_3 = 0$ .)

Um einen Hamiltonoperator zu erhalten, der die korrekten Bewegungsgleichungen erzeugt, konstruieren wir zuerst den erweiterten Hamiltonoperator

H_{A} = H_{0} + u P_{a}

$H_A = H_0 + u p_\alpha$ Wo

u

$u$ ist ein Hilfs-Lagrange-Multiplikator, der vorerst willkürlich gelassen wird. Es muss nun geprüft werden, ob die Forderung, dass das System auf der Zwangsfläche bleibt, irgendwelche Anforderungen stellt

u

$u$ . Dazu nehmen wir die Poisson-Klammern der primären Nebenbedingung

p_{α} = 0

$p_\alpha = 0$ mit dem erweiterten Hamiltonoperator

H_{A}

$H_A$ . Dies führt zu einer sekundären Einschränkung:

0 = {\dot{P}}_{a} = {P_{a}, H_{A}} = Q_{1} + Q_{2} + Q_{3} .

$0 = \dot{p}_\alpha = \{ p_\alpha, H_A \} = q_1 + q_2 + q_3.$ Also müssen wir haben

q_{1} + q_{2} + q_{3} = 0

$q_1 + q_2 + q_3 = 0$ um die primäre Einschränkung zu bewahren.

Diese sekundäre Einschränkung muss auch durch die Zeitentwicklung aufrechterhalten werden, die eine weitere sekundäre Einschränkung hervorruft, die wiederum eine andere hervorruft, und so weiter. In diesem Fall gelangt man jedoch schließlich zu einer Gleichung, die nach dem unbekannten Lagrange-Multiplikator gelöst werden kann $u$ . (Ich bin die Algebra nicht sorgfältig durchgegangen, aber es sieht so aus, als könnten Sie ausdrücken $u$ bezüglich $\alpha$ und die zweiten Ableitungen von $V$ gegenüber $q_i$ .)

Der vollständige Hamilton-Operator ist dann gleich dem erweiterten Hamilton-Operator mit dem Hilfs-Lagrange-Multiplikator $u$ gleich diesem Wert setzen. Im Allgemeinen müsste man in diesem Stadium auch die sogenannten First-Class- Constraints hinzufügen – diejenigen, die mit allen anderen Constraints kommutieren, zusammen mit Lagrange-Multiplikatoren für sie. Ich glaube jedoch nicht, dass dieses Modell irgendwelche erstklassigen Einschränkungen hat.

Weiterlesen:

Die beste Referenz, die ich dafür kenne, sind Diracs Lectures on Quantum Mechanics (eine Reihe von Vorlesungsunterlagen aus der Mitte der 50er Jahre, und nicht zu verwechseln mit seinen bekannteren Prinzipien der Quantenmechanik .) Eine hervorragende Zusammenfassung des Verfahrens kann auch sein gefunden in Anhang B von

Isenberg & Nester, "Die Wirkung der Gravitationswechselwirkung auf klassische Felder: Eine Hamilton-Dirac-Analyse." Annals of Physics (NY) 107 , S. 56–81 (1977).

Alternativ können Sie sich meine aktuelle Arbeit ansehen, in der diese Technik für Theorien mit beschränkten Feldern diskutiert wird. Es konzentriert sich jedoch auf einen feldtheoretischen Kontext, und ich gehe nicht so detailliert auf das Verfahren dort ein.

Seifert, „Beschränkungen und Freiheitsgrade in Lorentz-verletzenden Feldtheorien“, Phys. Rev. D99 045003 (2019). arXiv:1810.09512.

@Micael Seifert Warum man den Lagrange-Multiplikator nicht berechnen kann $\alpha$ in Ihrer ersten Gleichung und erhalten Sie dann wie üblich den Hamilton-Operator?
@Eli: Das kannst du bestimmt auch! Aber die Frage war, wie man einen eingeschränkten Hamilton-Operator in Bezug auf alle drei Koordinaten findet: $q_1$ , $q_2$ , Und $q_3$ .

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