Warum sind ppp und qqq unabhängige Variablen im Hamiltonschen Formalismus?

Sagen wir, wir haben ( Q , Q ˙ ) als verallgemeinerte Koordinate und verallgemeinerte Geschwindigkeit. Wenn wir eine Lagrange-Funktion haben, die durch gegeben ist

L = A Q Q ˙ + B Q
Wo A Und B sind Konstanten, die dem Lagrange, dann dem kanonischen Impuls, die richtigen Einheiten geben P wir verwenden, um die Legendre-Transformation durchzuführen, um den Hamilton-Operator zu erhalten

P = ∂ L ∂ Q ˙ = A Q .
Aber dann P Und Q sind keine unabhängigen Variablen wie
∂ P ∂ Q = ∂ ∂ Q A Q = A ≠ 0.

Was mache ich hier falsch?

Es ist ein singulärer Lagrange. Siehe die Antwort von Qmechanic auf diese Frage: physical.stackexchange.com/q/47847

Antworten (1)

  1. OPs Lagrange

    (1) L ( Q , v , T )   =   A Q v + B Q
    hat EL-Gleichung
    (2) B   ≈   0 ,
    also hat die Theorie nur dann klassische Lösungen, wenn B = 0 . Im letzteren Fall ist die Lagrange-Funktion eine totale Ableitung, sodass die Euler-Lagrange-Gleichung (EL) trivialerweise erfüllt ist. In jedem Fall führt der Lagrange von OP zu einer ziemlich einzigartigen Theorie.

  2. In Bezug auf die entsprechende Hamilton-Formulierung ist OPs Lagrange-Funktion ein Beispiel, bei dem die Legendre-Transformation singulär ist, dh wir können die Beziehung nicht umkehren

    (3) P   =   ∂ L ∂ v   =   A Q
    finden v als Funktion von P . Statt Gl. (3) ist eine primäre Einschränkung , dh Q Und P sind in der Tat keine unabhängigen Variablen, und man müsste eine Dirac-Bergmann-Analyse durchführen. Eine sekundäre Nebenbedingung ist Gl. (2). Der Hamiltonian wird
    (4) H   =   λ ( P − A Q ) ,
    Wo λ ist ein Lagrange-Multiplikator.

  3. Für reguläre Lagrangianer siehe zB diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

Warum sind ppp und qqq unabhängige Variablen im Hamiltonschen Formalismus?
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