Was ist mein Zustand im Kontext der Hamiltonschen Mechanik?

Question

Was ist mein Zustand im Kontext der Hamiltonschen Mechanik?

Styg

Ich fange gerade erst an, die Lagrange- und Hamilton-Formulierungen zu lernen (derzeit in Kapitel 9 von Goldstein), also haben Sie bitte etwas Geduld, wenn mein Problem zu elementar ist.

Ich kann den Punkt sehen, von dem aus ich gehen soll $n$ verallgemeinerte Koordinaten $q_i$ und ihre Geschwindigkeiten $\dot q_i$ in der Lagrange-Formulierung zu $2n$ Koordinaten+Impulse $q_i, p_i$ in der Hamiltonschen Formulierung, darin es

dreht die $n$ Euler-Lagrange-Gleichungen zweiter Ordnung zu den $2n$ Hamiltongleichungen erster Ordnung
verleiht der Mechanik die Sprache kanonischer Transformationen als Werkzeug zur Vereinfachung von Gleichungen, indem Transformationen vorgenommen werden, bei denen Impulse/Koordinaten zyklisch werden
führt zu Zusammenhängen zwischen Symmetrien und Erhaltungsgrößen durch Betrachtung der Änderung des Hamilton-Operators unter einer "aktiven" infinitesimalen kanonischen Transformation

Letztendlich wollen wir jedoch den Zustand eines Systems als Funktion der Zeit im gegebenen physikalischen Kontext beschreiben (eine Beschreibung des Potenzials, ein Verständnis dafür, wie unsere verallgemeinerten Koordinaten und Impulse "aussehen" werden). in Bezug auf unser System und Anfangsbedingungen). In der Lagrange-Formulierung ist unser Zustand einfach $q_i(t)$ , Die $n$ Koordinaten des Systems als Funktion der Zeit. In der Hamiltonschen Formulierung erhalten wir jedoch $2n$ Flugbahnen, $q_i(t)$ Und $p_i(t)$ .

Sind die Impulsbahnen redundant? Wenn dies nicht der Fall ist, wo in unserer geänderten Formulierung hat sich unser Zustandsraum in der Größe verdoppelt? Warum ist der Phasenraum wichtig, um den Zustand zu beschreiben?

QMechaniker

Kommentar zum Beitrag (v1): In der Lagrange-Mechanik wird ein Zustand (zu einem bestimmten Zeitpunkt

t

$t$ ) ist ein Punkt in

(q (t), \dot{q} (t)) \in T M

$(q(t),\dot{q}(t))\in TM$ , kein Punkt

q (t) \in M

$q(t)\in M$ im Konfigurationsbereich.

Styg

Ich bin mit der Sprache der Mannigfaltigkeiten und Tangentenbündel nicht sehr vertraut, aber ich glaube, ich verstehe Ihren Punkt. Allerdings bekomme ich die Geschwindigkeit

\dot{q} (t)

$\dot q(t)$ indem man die Ableitung von bildet

q (t)

$q(t)$ bei

t

$t$ , brauche ich nicht wirklich

\dot{q} (t)

$\dot q(t)$ als separate "Koordinate" für mein Bundesland.

Antworten (1)

Was ist mein Zustand im Kontext der Hamiltonschen Mechanik?

Kommentar zum Beitrag (v1): In der Lagrange-Mechanik wird ein Zustand (zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$ ) ist ein Punkt in $(q(t),\dot{q}(t))\in TM$ , kein Punkt $q(t)\in M$ im Konfigurationsbereich.
Ich bin mit der Sprache der Mannigfaltigkeiten und Tangentenbündel nicht sehr vertraut, aber ich glaube, ich verstehe Ihren Punkt. Allerdings bekomme ich die Geschwindigkeit $\dot q(t)$ indem man die Ableitung von bildet $q(t)$ bei $t$ , brauche ich nicht wirklich $\dot q(t)$ als separate "Koordinate" für mein Bundesland.

QMechaniker · Answer 1

OP vergleicht $n$ -dimensionale Lösungen
$\begin{matrix} (1) & T \mapsto (Q^{1} (T), \dots, Q^{N} (T)) \end{matrix}$ $t~\mapsto~ (q^1(t), \ldots, q^n(t)) \tag{1}$ nach Lagrange-Gl. im Lagrange-Formalismus mit $2n$ -dimensionale Lösungen $\begin{matrix} (2) & T \mapsto (Q^{1} (T), \dots, Q^{N} (T), P_{1} (T), \dots, P_{N} (T)) \end{matrix}$ $t~\mapsto~ (q^1(t), \ldots, q^n(t),p_1(t), \ldots, p_n(t)) \tag{2}$ zu Hamiltons Gl. im Hamiltonschen Formalismus, und überlegen Sie, wie es eine bijektive Entsprechung zwischen den beiden Lösungssätzen geben kann?

Antwort: Um die Anzahl der Lösungen richtig abzuschätzen, sollten wir die Anzahl der Integrationskonstanten zählen. Das ist nämlich in beiden Fällen gleich $2n$ .
Lassen Sie uns abschließend die Titelfrage von OP ansprechen (v2):
1. In der Lagrange-Mechanik ist ein momentaner Zustand des Systems (irgendwann $t_0$ ) ist ein Punkt $(q(t_0),v(t_0))\in TM$ .
2. In der Hamiltonschen Mechanik ist ein momentaner Zustand des Systems (zu einem bestimmten Zeitpunkt $t_0$ ) ist ein Punkt $(q(t_0),p(t_0))\in T^{\ast}M$ .
Beachten Sie, dass es eine bijektive Abbildung zwischen momentanen Zuständen des Systems gibt (zu einem bestimmten Zeitpunkt $t_0$ ) und Anfangsbedingungen des Systems (wobei $t_0$ ist die Anfangszeit).
Schließlich fragt OP, ob die verallgemeinerten Geschwindigkeiten $v^1, \ldots,v^n$ , sind unabhängige Variablen oder nicht? Dies wird zB in meiner Phys.SE-Antwort hier erklärt .

Ein paar Klarstellungen: 1. Wenn unser Zustand in der Lagrange-Mechanik stattdessen wäre $q(t) \in M$ , konnten wir erhalten $v(t) = \dot q(t)$ . Ich stimme zu, dass wir einige Anfangsbedingungen brauchen $\left(q(0), v(0)\right) \in TM$ , aber sobald wir für aufgelöst haben $q(t)$ , warum brauchen wir noch explizit $v(t)$ ? 2. In ähnlicher Weise, obwohl die Beziehung zwischen $p(t)$ Und $q(t)$ ist im Hamiltonschen Formalismus nicht so direkt wie wir $\dot q(t) = \frac{\partial H}{\partial p}$ , die invertierbar ist. Da können wir erhalten $p(t)$ aus $q(t)$ , warum brauchen wir unseren Zustand $T^{\ast}M$ ?
Danke für die verlinkte Antwort, die etwas mehr Klarheit gebracht hat. Ich verstehe jedoch immer noch nicht, warum Impulstrajektorien oder Geschwindigkeitstrajektorien für diese Angelegenheit benötigt werden, nachdem wir die Bewegungsgleichung gelöst und erhalten haben $q(t)$ .

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