Unabhängigkeit von verallgemeinerten Koordinaten und Impulsen in der Hamiltonschen Mechanik [Duplikat]

Wie in den Kommentaren angemerkt, ist die Transformation von der$(q_{i},\dot{q}_{i})$Koordinaten zu$(q_{i},p_{i})$Koordinaten ist ein Beispiel für eine Legendre-Transformation. Informell gesprochen können Sie so verschiedene Koordinaten verwenden, um das System zu beschreiben, während alle Informationen über das System erhalten bleiben.

Gemäß der allgemeinen Formulierung einer Legendre-Transformation verwenden wir die Gleichung

$p_{i} = \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \hspace{1em} (1)$

implizit zu definieren$\dot{q}_{i}$bezüglich$p_{i}$Und$q_{i}$. Um zu sehen, wie dies in einer einfacheren Umgebung funktioniert, können wir eine Variable definieren$y$als

$y = 2x +1$.

In diesem Sinne können wir sehen$y$als Funktion von$x$. Wir können diese Beziehung jedoch auch umkehren, um sie aufzulösen$x$bezüglich$y$, was gibt

$x = \dfrac{1}{2}(y-1)$,

so hier sehen wir$x$als Funktion von$y$. Der Punkt ist, dass wir eine unabhängige Variable und eine abhängige Variable haben, aber wir können frei wählen, welche welche ist. In der klassischen Mechanik wird das Bild dadurch etwas kompliziert, dass wir jetzt 2 unabhängige Variablen haben, aber das Prinzip bleibt das gleiche: Gleichung (1) kann als beides ausgedrückt angesehen werden$p_{i}$bezüglich$q_{i}$Und$\dot{q}_{i}$, oder als Ausdruck$\dot{q}_{i}$bezüglich$p_{i}$Und$q_{i}$, und es steht uns frei, die für unsere Zwecke geeignete Auslegung zu wählen.