Wie allgemein ist der Satz von Noether in der klassischen Mechanik?

Question

Wie allgemein ist der Satz von Noether in der klassischen Mechanik?

DLV

Ich gehe die Ableitungen von Noethers Theoremen durch und habe mehrere Kritikpunkte an ihrer Darstellung in populären Quellen (beachten Sie, dass ich mich hier nur auf die klassische Mechanik beziehe und mich nicht für die Theoreme im Kontext der Feldtheorie interessiere). Meine Kommentare sind unten dargestellt:

Der Hamiltonoperator ist definiert als $H=\sum \dot{q}_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}-L$ . Ich werde nicht auf die Details eingehen, aber es kann gezeigt werden, dass, wenn die potentielle Energie nur von verallgemeinerten Koordinaten (und nicht von Geschwindigkeiten) abhängt und wenn die kinetische Energie eine homogene quadratische Funktion von ist $\dot{q}_i$ dann ist der Hamiltonoperator die Gesamtenergie.

Die Tatsache $\frac{\partial L}{\partial t}=0$ impliziert das nur direkt $\frac{d}{dt}H=0$ und sonst nichts. Meine Kritik lautet also: Wir können nicht absolut sagen, dass Zeit-Translations-Symmetrie Energieerhaltung impliziert; Wir können nur sagen, dass dies die Erhaltung des Hamilton-Operators impliziert, der gemäß den Bedingungen, die ich oben gepostet habe, die Gesamtenergie sein kann oder nicht

Andererseits wird oft gesagt, dass bei Raumtranslationssymmetrie bezüglich einer bestimmten Variablen der konjugierte Impuls erhalten bleibt. Und das zeigt sich recht einfach durch:

Wenn $\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}=0$ Dann $\frac{d}{dt}p_{{q}_i}=0$ .

Dies gilt jedoch nur, wenn das Potential unabhängig von Geschwindigkeiten ist, es sei denn, Sie akzeptieren dies $\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = P_{q_i}$ auch wenn Potentiale geschwindigkeitsabhängig sind

Also wo vermassel ich das hier? Sind meine Aussagen wahr, aber dennoch nutzlos, da alle Potentiale im Universum geschwindigkeitsunabhängig sind (was ich für falsch halte)? Ist es immer möglich, ein Koordinatensystem zu finden, für das $H=E$ ?

Danke.

ACuriousMind

Ich bin mir nicht sicher, wovon du sprichst. Der Satz von Noether ist die äußerst allgemeine Aussage, dass jede Symmetrie ein entsprechendes Erhaltungsgesetz hat, und der Satz gibt die allgemeine Form des erhaltenen Stroms an. Es besagt nicht, dass der Hamiltonian immer die Energie ist. Auch der Schwung

p_{i}

$p_i$ entspricht einer Koordinate

q^{i}

$q^i$ ist definiert als

\partial L / \partial {\dot{q}}^{i}

$\partial L / \partial\dot{q}^i$ , nicht sicher, warum Sie behaupten, dies sei nur für geschwindigkeitsunabhängige Potentiale gültig.

DLV

Ja, Sie könnten per Definition gehen (bezüglich der verallgemeinerten Impulse), aber ich sprach über den konkreteren Sinn des Impulses, wo (wenn wir kartesische Koordinaten hätten)

\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m \dot{x}

$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\dot{x}$ iff

\frac{\partial U}{\partial \dot{x}} = 0

$\frac{\partial U}{\partial \dot{x}}=0$ .

Neugierig

Für ein mechanisches System ist die Gesamtenergie per Definition diejenige, die durch den Hamilton-Operator gegeben ist. Wenn es einen anderen Energieterm gibt, der die Symmetrie bricht (und solche Terme gibt es in realen Situationen reichlich), dann haben Sie sich einfach bei der Formulierung der Systemgrenzen vertan.

DLV

Andererseits spreche ich über die Ableitungen der Beziehung, die die Symmetrie zu Erhaltungssätzen in der klassischen Mechanik hat (dh ich beziehe mich auf Teilchensysteme). Ich ignoriere den Fall über Felder völlig.

DLV

Die Definition des Hamilton-Operators ist es nicht

H = T + V

$H=T+V$ in meinem Buch. Ich glaube also nicht, dass die Energie per Definition der Hamiltonian ist. Mein Buch ist Thorntons und Marions Klassische Dynamik von Teilchen und Systemen.

DLV

Soll ich die Ableitungen posten, über die ich spreche, damit meine Frage klarer ist? Ich denke, sie könnten auf etwa 3 Zeilen reduziert werden.

ACuriousMind

Wenn du den Beton meinst

T + V

$T+V$ als "Energie" und das Konkrete

p = m \dot{q}

$p = m\dot{q}$ Für Spezialfälle weiß ich immer noch nicht, was Ihre Frage ist, da der Satz von Noether dies nicht behauptet

T + V

$T+V$ oder

m \dot{q}

$m\dot{q}$ sind konserviert. Es ist

H

$H$ Und

p_{i}

$p_i$ In ihrer üblichen Definition sind dies die Erhaltungsgrößen, die Zeit- bzw. Koordinatentranslationen zugeordnet sind.

Neugierig

Ein zeitinvarianter Hamiltonoperator ist möglicherweise nicht die vollständige Definition eines tatsächlichen physikalischen Systems (denken Sie an thermodynamische Freiheitsgrade). In diesem Fall wird Noether natürlich nicht funktionieren. Warum sollte es?

DLV

Ich schätze, ich könnte dann einen Mangel an Wissen haben, da ich es nicht wusste

T + V

$T+V$ war nicht immer die gesamte Energie. Ich stimme den Theoremen zu

H

$H$ Und

p_{i}

$p_{i}$ sind Erhaltungsgrößen. Ich denke, der springende Punkt meiner Verwirrung ist, dass sich Noethers Theoreme auf eine andere Art von Impuls und eine andere Art von Energie beziehen, die sich von den Vorstellungen von Impuls und Energie unterscheidet, die ein Anfänger haben könnte.

QMechaniker

Kommentar zur Frage (v1): Der Kern der Frage betrifft den Lagrange-Formalismus (im Gegensatz zum Hamilton-Formalismus). Die Einführung des Hamiltonschen Formalismus und einer möglichen singulären Legendre-Transformation ist irrelevant und verschleiert die Angelegenheit. Angenommen, dies ist eine reine Lagrange-Frage, was OP dann anruft

H

$H$ Und

p

$p$ sind dann Lagrange-Definitionen von Energie bzw. Impuls. Sie werden normalerweise als Lagrange-Energiefunktion bzw. Lagrange-Konjugat / kanonischer Impuls bezeichnet. Sie entsprechen nicht unbedingt anderen Definitionen von Energie und Impuls.

Michael Seifert

Für einen Fall, in dem der kanonische Impuls erhalten bleibt, der mechanische Impuls jedoch nicht, sollten Sie sich den Fall eines geladenen Teilchens in einem Magnetfeld unter dem Lagrange-Formalismus ansehen. In einem solchen Fall ist das ziemlich offensichtlich

m \dot{v}

$m \dot{v}$ sollte keine Konstante sein, aber der konjugierte Impuls kann immer noch erhalten bleiben. Es gibt eine gute Diskussion dieses Aufbaus in „Gedanken zum magnetischen Vektorpotential“ (Semon & Taylor, Am. J. Phys., Bd. 64, S. 1361).

Antworten (2)

Wie allgemein ist der Satz von Noether in der klassischen Mechanik?

Ich bin mir nicht sicher, wovon du sprichst. Der Satz von Noether ist die äußerst allgemeine Aussage, dass jede Symmetrie ein entsprechendes Erhaltungsgesetz hat, und der Satz gibt die allgemeine Form des erhaltenen Stroms an. Es besagt nicht, dass der Hamiltonian immer die Energie ist. Auch der Schwung $p_i$ entspricht einer Koordinate $q^i$ ist definiert als $\partial L / \partial\dot{q}^i$ , nicht sicher, warum Sie behaupten, dies sei nur für geschwindigkeitsunabhängige Potentiale gültig.
Ja, Sie könnten per Definition gehen (bezüglich der verallgemeinerten Impulse), aber ich sprach über den konkreteren Sinn des Impulses, wo (wenn wir kartesische Koordinaten hätten) $\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\dot{x}$ iff $\frac{\partial U}{\partial \dot{x}}=0$ .
Für ein mechanisches System ist die Gesamtenergie per Definition diejenige, die durch den Hamilton-Operator gegeben ist. Wenn es einen anderen Energieterm gibt, der die Symmetrie bricht (und solche Terme gibt es in realen Situationen reichlich), dann haben Sie sich einfach bei der Formulierung der Systemgrenzen vertan.
Andererseits spreche ich über die Ableitungen der Beziehung, die die Symmetrie zu Erhaltungssätzen in der klassischen Mechanik hat (dh ich beziehe mich auf Teilchensysteme). Ich ignoriere den Fall über Felder völlig.
Die Definition des Hamilton-Operators ist es nicht $H=T+V$ in meinem Buch. Ich glaube also nicht, dass die Energie per Definition der Hamiltonian ist. Mein Buch ist Thorntons und Marions Klassische Dynamik von Teilchen und Systemen.
Soll ich die Ableitungen posten, über die ich spreche, damit meine Frage klarer ist? Ich denke, sie könnten auf etwa 3 Zeilen reduziert werden.
Wenn du den Beton meinst $T+V$ als "Energie" und das Konkrete $p = m\dot{q}$ Für Spezialfälle weiß ich immer noch nicht, was Ihre Frage ist, da der Satz von Noether dies nicht behauptet $T+V$ oder $m\dot{q}$ sind konserviert. Es ist $H$ Und $p_i$ In ihrer üblichen Definition sind dies die Erhaltungsgrößen, die Zeit- bzw. Koordinatentranslationen zugeordnet sind.
Ein zeitinvarianter Hamiltonoperator ist möglicherweise nicht die vollständige Definition eines tatsächlichen physikalischen Systems (denken Sie an thermodynamische Freiheitsgrade). In diesem Fall wird Noether natürlich nicht funktionieren. Warum sollte es?
Ich schätze, ich könnte dann einen Mangel an Wissen haben, da ich es nicht wusste $T+V$ war nicht immer die gesamte Energie. Ich stimme den Theoremen zu $H$ Und $p_{i}$ sind Erhaltungsgrößen. Ich denke, der springende Punkt meiner Verwirrung ist, dass sich Noethers Theoreme auf eine andere Art von Impuls und eine andere Art von Energie beziehen, die sich von den Vorstellungen von Impuls und Energie unterscheidet, die ein Anfänger haben könnte.
Kommentar zur Frage (v1): Der Kern der Frage betrifft den Lagrange-Formalismus (im Gegensatz zum Hamilton-Formalismus). Die Einführung des Hamiltonschen Formalismus und einer möglichen singulären Legendre-Transformation ist irrelevant und verschleiert die Angelegenheit. Angenommen, dies ist eine reine Lagrange-Frage, was OP dann anruft $H$ Und $p$ sind dann Lagrange-Definitionen von Energie bzw. Impuls. Sie werden normalerweise als Lagrange-Energiefunktion bzw. Lagrange-Konjugat / kanonischer Impuls bezeichnet. Sie entsprechen nicht unbedingt anderen Definitionen von Energie und Impuls.
Für einen Fall, in dem der kanonische Impuls erhalten bleibt, der mechanische Impuls jedoch nicht, sollten Sie sich den Fall eines geladenen Teilchens in einem Magnetfeld unter dem Lagrange-Formalismus ansehen. In einem solchen Fall ist das ziemlich offensichtlich $m \dot{v}$ sollte keine Konstante sein, aber der konjugierte Impuls kann immer noch erhalten bleiben. Es gibt eine gute Diskussion dieses Aufbaus in „Gedanken zum magnetischen Vektorpotential“ (Semon & Taylor, Am. J. Phys., Bd. 64, S. 1361).

Physiker137 · Answer 1

Wie ich sehe, liegt das Problem vielleicht in der Energie. Also, was ist Energie?

Die formale klassische Definition von Energie lautet: Energie ist eine dynamische Invariante eines Systems, das aus der Zeit-Translations-Symmetrie stammt. Auch dazu gibt es hier eine Frage . Wenn Sie weitere Referenzen darüber wünschen, lassen Sie es mich wissen.

Also... wenn Bob schreibt, $E = T + V$ in dissipativen Systemen (zB gedämpfte OHS) liegt Bob also formal falsch, denn die Menge $E$ variiert eindeutig mit der Zeit, ist also keine dynamische Invariante, kann also nicht die Energie dieses Systems sein.

Außerdem hast du gesagt:

\frac{\partial L}{\partial T} = \frac{D H}{D T}

$\frac{\partial L}{\partial t} = \frac{dH}{dt}$

Das beweist das Noether-Theorem nicht. Das zeigt nur wann $H$ wird konserviert. Der vollständige Beweis des Satzes von Noether hat mit dem Prinzip der kleinsten Wirkung zu tun. Wenn Sie handeln $A$ , und lassen Sie es unendlich variieren $\delta A$ nach Zeitübersetzung $\delta t$ und räumliche Übersetzung $\delta q_i$ , und nach einigen Berechnungen gelangen Sie zu:

δ A = δ \int L (Q_{ich}, {\dot{Q}}_{ich}, T) D T = \int (\frac{\partial L}{\partial Q_{ich}} - \frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{ich}}) (δ Q_{ich} - {\dot{Q}}_{ich} δ T) D T + [\frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{ich}} δ Q_{ich} - H δ T]

$\delta A = \delta\int L(q_i, \dot q_i, t) dt = \int\left(\frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\right) \left(\delta q_i - \dot q_i\delta t\right)dt + \left[\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\delta q_i - H\delta t\right]$

Die räumliche Übersetzung $\delta q_i$ ist mit dem Impuls verbunden $p_i$ , und die Zeitübersetzung $\delta t$ ist mit dem Hamiltonian verbunden $H$ .

Jetzt wenden wir das Prinzip der kleinsten Wirkung an: $\delta A = 0$ , und wir erhalten:

(\frac{\partial L}{\partial Q_{ich}} - \frac{D}{D T} \frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{ich}}) (δ Q_{ich} - {\dot{Q}}_{ich} δ T) D T = - \frac{D}{D T} [\frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{ich}} δ Q_{ich} - H δ T]

$\left(\frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\right) \left(\delta q_i - \dot q_i\delta t\right)dt = -\frac{d}{dt} \left[\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\delta q_i - H\delta t\right]$

Hier identifizieren wir Euler-Lagrange-Gleichungen, die erfüllt werden müssen und somit Null sind (Vorsicht bei Skalarprodukten). Dann haben wir für jede Symmetrie der Wirkung eine Erhaltungsgröße:

P_{ich} δ Q_{ich} - H δ T = C T e

$p_i\delta q_i - H\delta t = cte$

Für eine Zeitsymmetrie gilt $H$ konserviert wird, und somit $H$ ist per Definition die Energie des Systems. Es ist so etwas nicht bewiesen $T+V$ ist die Konservierte, daher sind sie möglicherweise keine dynamischen Invarianten, daher sind sie möglicherweise nicht die Energie.

Zusammenfassend wurde die aktuelle formale Definition der klassischen Energie durch das Noether-Theorem motiviert.

Es scheint jedoch kontraintuitiv. Kann man Arbeit bekommen von $H$ Wie in der Thermodynamik? Man kann ab $T+V$ . Vielleicht wären Referenzen hier nett, wie Sie sagen. Ich möchte mehr darüber wissen. Außerdem kann man immer noch von Energie sprechen, wenn sie nicht gespart wird, würde $H$ in einem solchen Fall immer noch die Definition von Energie sein? Danke!

Oleg · Answer 2

Es gibt mindestens zwei Verallgemeinerungen des Satzes von Noether.

1) Nehmen Sie an, dass das Hamiltonsche System mit Hamiltonian $H(z),\quad z=(p,q)$ hat eine einparametrige Symmetriegruppe $\{g^s_F(z)\}$ die von einem Hamilton-System mit Hamilton-Operator erzeugt wird $F$ . Dann $F$ ist ein erstes Integral für $H:\quad \{F,H\}=0$ , außerdem wenn $dF\ne 0$ dann gibt es lokale kanonische Koordinaten $P,Q$ so dass in diesen Koordinaten (diese Koordinaten können durch bereitgestellte Quadraturen gebildet werden $g^s_F$ gegeben ist) Hamiltonoperator $H$ hängt nicht davon ab $Q_1$ Und $(P,Q)\mapsto g^s_F(P,Q)=(P_1,\ldots,P_n,Q_1+s,Q_2,\ldots,Q_n)$ .

2) Betrachten Sie ein nichtholonomes System mit Lagrange $L=L(q,\dot q)$ und die Nebenbedingungsgleichung $a_i^j(q)\dot q^i=0,\quad j=1,\ldots,k<n$ . Angenommen, es existiert eine Ein-Parameter-Gruppe $\{g^s(q)\},\quad L(q,\dot q)=L(g^s(q),d g^s(q)\dot q)$ Und $a_i^j(q) v^i(q)=0$ . Hier $v$ ist das Vektorfeld, das erzeugt wird $g^s$ . Dann hat das System das erste Integral $f=\frac{\partial L}{\partial \dot q^l}v^l.$ Man kann auch den Rektifikationssatz anwenden $v$

+1. Zu einer hamiltonschen Version des Satzes von Noether siehe auch diesen Phys.SE-Beitrag.

Wie allgemein ist der Satz von Noether in der klassischen Mechanik?

DLV

ACuriousMind

DLV

Neugierig

DLV

DLV

DLV

ACuriousMind

Neugierig

DLV

QMechaniker

Michael Seifert

Antworten (2)

Physiker137

DLV

Oleg

QMechaniker

Satz von Noether: Form der infinitesimalen Transformation

Die Lagrange-Gleichung ist unter JEDER Koordinatentransformation forminvariant. Hamiltons Gleichungen unterliegen nicht JEDER Phasenraumtransformation. Warum?

Problem mit dem Satz von Noether zum Beweis der Energieerhaltung

Folgt die Erhaltung des Wronskian aus dem Noether-Prinzip?

Kann ich auf die übliche Weise eine Potentialfunktion finden, wenn das zentrale Feld ttt in seiner Größe enthält?

Gesamtenergie in rheonomischen Systemen

Definieren zeitinvariante Hamiltonoperatoren geschlossene Systeme?

Unabhängigkeit von verallgemeinerten Koordinaten und Impulsen in der Hamiltonschen Mechanik [Duplikat]

Warum werden Symmetrien im Phasenraum durch Funktionen erzeugt, die die Hamilton-Invariante verlassen?

Zusammenhang zwischen Vektorfeld, Generator & Skalarfeld im Satz von Noether