Was ist die wirklich grundlegende Definition von Energie?

Der Lagrangesche Formalismus der Physik ist der Weg, hier anzufangen. In dieser Formulierung definieren wir eine Funktion, die alle möglichen Pfade abbildet, die ein Teilchen zu den reellen Werten nimmt, und nennen dies die Lagrange-Funktion. Dann ist der [klassische] Weg, den ein Teilchen zurücklegt, der Weg, für den der Lagrange-Operator eine Nullableitung in Bezug auf kleine Änderungen in jedem der Wege hat.

Es stellt sich aufgrund eines als Noether-Theorem bekannten Ergebnisses heraus, dass, wenn die Lagrange-Funktion aufgrund einer Symmetrie unverändert bleibt, die Bewegung der Teilchen notwendigerweise eine Erhaltungsgröße hat.

Energie ist eine Erhaltungsgröße, die mit einer Zeittranslationssymmetrie in der Lagrange-Funktion eines Systems verbunden ist. Also, wenn Ihr Lagrange nach dem Ersetzen unverändert ist$t^{\prime} = t + c$zum$t$, dann sagt uns der Satz von Noether, dass die Lagrange-Funktion eine Erhaltungsgröße haben wird. Diese Größe ist die Energie. Wenn Sie etwas über Lagrangians wissen, können Sie es explizit berechnen. Es gibt zahlreiche googlebare Ressourcen zu all diesen Wörtern, mit Links dazu, wie diese Berechnungen durchgeführt werden. Weitere Fragen beantworte ich in den Edits.

Das Problem dabei ist nicht, dass Energie strenger definiert werden muss als alles andere. Das Problem ist, dass Sie von der falschen Annahme ausgehen, dass alles andere ein für alle Mal rigoros definiert werden kann. Zum Beispiel:

"[...]mit unserer Intuition wissen wir, was Momentum sein sollte, und wir wissen auch, dass es eine gute Definition ist, es als p=mv zu definieren."

Eigentlich geht das nicht. Zum Beispiel hat ein Lichtstrahl Null Masse und einen Impuls ungleich Null, also ist p=mv für Licht falsch. Wenn Ihnen die Intuition p=mv sagte, lag die Intuition falsch.

Der allgemeine Weg, um eine konservierte Menge zu definieren, besteht darin, etwas auszuwählen, das Ihre Standardmenge dieser Menge ist, und dann Experimente durchzuführen, um herauszufinden, wie viel von verschiedenen Dingen in diesen Standard umgewandelt werden kann. Wenn Sie beispielsweise eine 1,00 kg schwere Masse auswählen, die sich mit 1,00 m/s bewegt, als Ihre Definition der Impulseinheit, dann werden Sie durch Experimente feststellen, dass ihr Impuls für eine Bewegung im Wert von 2,00 m/s für eine 0,50 kg schwere Masse ausgetauscht werden kann . Dies führt natürlich zu der Hypothese, dass p = mv. Weitere Experimente scheinen diese Hypothese zu bestätigen. Aber irgendwann macht man Experimente mit Elektronen, die sich mit 30 % der Lichtgeschwindigkeit bewegen, oder mit Lichtstrahlen, und findet heraus, dass p=mv falsch war. Es war nur eine Annäherung, die unter bestimmten Umständen gültig war. Sie sind gezwungen, Ihre Definition von p zu überarbeiten. Es ist ein rein empirischer Prozess.

Dasselbe gilt für Energie. Der einzige Ansatz, der grundsätzlich funktioniert, besteht darin, etwas als Ihre Standardeinheit für Energie zu definieren. Dies könnte die Energie sein, die erforderlich ist, um 0,24 g Wasser um 1 Grad C zu erwärmen. Dann würden Experimente zeigen, dass Sie diese Energiemenge gegen die kinetische Energie eines 2,00 kg schweren Objekts eintauschen könnten, das sich mit 1,00 m/s bewegt. Letztlich kann man nur empirisch vorgehen.

"[...]kürzlich habe ich gehört, dass bei der allgemeinen Relativitätstheorie einige Erhaltungssätze verloren gehen [...]"

Ja, und deshalb stimme ich Jerry Schirmers Antwort nicht zu. Er sagt, dass Energie die Erhaltungsgröße ist, die man aufgrund der Zeit-Translations-Invarianz erhält. Aber dieses Verfahren funktioniert nicht in GR. Technisch gesehen wird die relevante Symmetrie zur Diffeomorphismusinvarianz, und das erfüllt nicht die Anforderungen des Satzes von Noether. Der grundlegendere Grund, warum es in GR nicht funktionieren kann, ist, dass Energie-Impuls in GR ein Vektor ist, kein Skalar, und Sie können keine globale Erhaltung eines Vektors in GR haben, da der parallele Transport von Vektoren in GR ein Pfad ist -abhängig und daher mehrdeutig. Was du kannstIn GR ist die lokale (nicht globale) Erhaltung des Energieimpulses zu definieren. Auch wenn die technischen Details mysteriös sind, ich denke, dieses Gegenbeispiel zeigt, dass Noethers Theorem zwar einen tieferen Einblick in die Herkunft der Erhaltungssätze bietet, die endgültige Definition von Erhaltungsgrößen jedoch immer noch empirisch ist.

Übrigens gibt es eine gute Darstellung dieser philosophischen Position in den Feynman Lectures. Er diskutiert die Energieeinsparung mit der Metapher eines Läufers, der sich auf einem Schachbrett bewegt und immer auf derselben Farbe bleibt. Obwohl sich diese Behandlung an Leute richtet, die nichts über Noethers Theorem oder die allgemeine Relativitätstheorie wissen, denke ich, dass seine philosophische Position im gesamten Kontext dessen, was derzeit über die gesamte Physik bekannt ist, sehr gut steht.

Genaue Definitionen gelten immer nur für bestimmte Modelle. Eine der aufschlussreicheren für Energie kommt aus der speziellen Relativitätstheorie, wo Raum und Zeit nicht unabhängig sind, sondern Teil einer einzigen Einheit, der Raumzeit.

Richtungsgrößen in SR haben nicht nur Komponenten in den räumlichen x-, y- und z-Richtungen, sondern auch eine vierte (oder per Konvention nullte) Komponente in Zeitrichtung. Beim Impuls ist diese Komponente (bis auf einen konstanten Faktor) die Energie.

Es stellt sich heraus, dass$\vec p=m\vec v$ist weniger grundlegend als$\vec p=\gamma m\vec v$das ist der räumliche Teil des 4-Vektors

$$p^\mu=\gamma m\begin{pmatrix} c \\ v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix}$$ wo $\gamma = 1/\sqrt{1-(v/c)^2}$.

Wie

$$\gamma = 1 + \frac 12 (\frac vc)^2 + \mathcal O((\frac vc)^4)$$ die relativistische Definition von $\vec p$stimmt mit dem klassischen für überein $v\ll c$.

Einfügen unserer Näherung bis zur zweiten Ordnung in die Definition von 4-Impulsausbeuten

$$p^0\approx mc + \frac{mv^2}{2c} = \frac 1c \left( mc^2 + \frac 12 mv^2 \right) = \frac 1c \left( E_\mathrm{rest}^\mathrm{Einstein} + E_\mathrm{kin}^\mathrm{Newton} \right)$$

Einstellung$\vec v = 0$, zeigt dies auch, dass Ruheenergie und Masse im Wesentlichen dasselbe sind (sie unterscheiden sich nur durch einen konstanten Faktor). Es ist wichtig zu beachten, dass die Ruheenergie interne Bindungsenergie enthält, die bei Kernreaktionen zum Massendefekt führt.

Definitionen physikalischer Größen in der Physik sind kontextabhängig. Beispielsweise unterscheidet sich die Definition von Energie in der klassischen allgemeinen Relativitätstheorie von der Definition, die in der Quantenphysik des Standardmodells verwendet wird. Wir haben noch nicht die „fundamentalste“ Theorie der Physik, also wissen wir nicht, wie die grundlegende Definition von Energie aussehen wird, oder ob es überhaupt eine geben wird. Vielleicht entsteht Energie auf der Ebene der Quantengravitation, also hat sie keine grundlegende Definition. Wir werden es nicht wissen, bis wir die Quantengravitation besser verstehen als jetzt.

Es gibt jedoch eine allgemeine Theorie über Energie und ihre Beziehung zur Zeittranslationsinvarianz, die in Noethers Theorem enthalten ist. Der Satz besagt, dass jeder Symmetrie der Natur eine Erhaltungsgröße zugeordnet ist. Energie ist mit Zeitsymmetrie verbunden, während Impuls mit Raumverschiebungen verbunden ist, Drehimpuls mit Rotationen verbunden ist, Ladung mit elektromagnetischer Eichinvarianz usw. verbunden ist.

Der Satz von Noether wurde ursprünglich für klassische Systeme aufgestellt und bewiesen, aber es gibt auch eine Version, die für die Quantenphysik funktioniert, sodass man sagen könnte, dass Energie als die Größe definiert ist, die sich aus dem Satz von Noether ergibt und mit der Zeitinvarianz verbunden ist. Dies mag die grundlegendste Definition sein, die wir jetzt geben können, aber sie hängt vom Kontext der derzeit bekannten Physik ab, und wir haben keine Ahnung, ob sie in irgendeiner Form auf grundlegenderen Ebenen der Theorie als den derzeit bekannten überleben wird.

Wenn wir in Noethers Theorem von Zeitinvarianz sprechen, sprechen wir über die Tatsache, dass sich die vollständigen Gesetze der Physik nicht mit der Zeit ändern. Das frühe Universum war vielleicht ganz anders als das, in dem wir heute leben, aber die Gesetze der Physik waren die gleichen. Das bedeutet, dass der Satz von Noether zum Beispiel in der Allgemeinen Relativitätstheorie perfekt funktioniert. Das Universum mag sich ausdehnen und die Kosmologie kann sich weiterentwickeln, aber Einsteins Feldgleichung für die Gravitation ist immer dieselbe, also bleibt Energie erhalten. Viele Leute, besonders die hier im Forum, bestreiten das, aber sie liegen falsch. Die diesbezüglichen Argumente in anderen Antworten hier sind fehlerhaft. Energie wird in GR ohne Vorbehalte bezüglich Sonderfällen oder globaler Bedeutung konserviert. Für detaillierte Widerlegungen einzelner Behauptungen siehe http://vixra.org/abs/1305.0034

Falls jemand denkt, ich klinge wie eine einsame Stimme, die der Mainstream-Ansicht widerspricht, das ist nicht der Fall. Als ich kürzlich in einem FQXi-Essay darüber schrieb, wie Energie in GR trotz gegenteiliger Behauptungen eingespart wird, antwortete Carlo Rovelli, indem er schrieb: „Ich sehe nichts in dem, was Sie sagen, das über das hinausgeht, was in allen GR-Büchern über Energieeinsparung geschrieben steht GR. Darüber gibt es eine umfangreiche Literatur." Er hat hauptsächlich recht. Die Energieerhaltung wird in Büchern über Gravitation von Weinberg, Dirac, Landau und Lifschitz usw. erklärt. Sie ist in Wikipedia gut abgedeckt und es wurde sogar ein Nobelpreis für die Anwendung der Energieerhaltung in GR auf Doppelpulsare verliehen. Die Idee, dass Energie in GR nicht konserviert wird, ist ein Meme, das in einigen Blogs und Foren wie diesem verewigt wird. Es stammt aus einem Artikel, der vor einigen Jahren in der Physik-FAQ zu diesem Thema geschrieben wurde und den ich leider nicht ändern konnte. Lass dich nicht täuschen.