Gibt es einen grundsätzlichen Grund, die Arbeit nicht umgekehrt zu definieren?

Question

Gibt es einen grundsätzlichen Grund, die Arbeit nicht umgekehrt zu definieren?

anderstood

Meine Frage ergibt sich aus etwas, das nie wirklich klar war: Warum ist in der Kontinuumsmechanik die Spannungsenergie definiert als:

W = \int_{Ω} \underline{\underline{σ}} : D \underline{\underline{ε}}

$W=\int_\Omega \underline{\underline{\sigma}}:\mathrm{d}\underline{\underline{\varepsilon}}$ statt

W = \int_{Ω} \underline{\underline{ε}} : D \underline{\underline{σ}}

$W=\int_\Omega \underline{\underline{\varepsilon}}:\mathrm{d}\underline{\underline{\sigma}}$

Ich denke, diese Frage steht in engem Zusammenhang mit einer "allgemeineren" Frage: der der Arbeit einer Truppe, definiert durch:

W = \int_{C} \underline{F} \cdot D \underline{S}

$W=\int_\mathcal{C} \underline{F}\cdot\mathrm{d}\underline{s}$

Warum sprechen wir nie über die symmetrische Beziehung:

W^{'} = \int_{C} \underline{S} \cdot D \underline{F}

$W'=\int_\mathcal{C} \underline{s}\cdot\mathrm{d}\underline{F}$

Ich bitte nicht um Erklärungen zu den häufig verwendeten Definitionen, sondern ob es einen grundlegenden Grund gibt, warum sie nicht "umgekehrt" definiert werden.

Bearbeiten Sie Ergänzungen, um zu erklären, warum es mir unklar ist: Korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege: Die Energie kann als lineare Form über den Geschwindigkeiten oder Verschiebungen (die in einem Vektorraum leben) gesehen werden, um Skalare zu ergeben, die Kräfte genannt werden (die auf dem Dual leben Vektorraum). Ist es richtig zu sagen, dass diese Beziehung "symmetrisiert" werden kann, um eine lineare Form über den Kräften zu definieren, um Geschwindigkeiten zu ergeben?

Warum schreiben wir

W = \int F v D T = \int F D S statt = \int v D G

$W=\int Fv\,\mathrm{d}t = \int F\,\mathrm{d}s\qquad\text{ rather than}\quad =\int v\,\mathrm{d}G$ Wo

G

$G$ wäre ein Primitiv von

F

$F$ , als Verschiebung

s

$s$ ist das Primitiv von

v

$v$ ?

Benutzer4552

Ist die Unterstreichungsnotation für einen Vektor? Was ist die Notation mit doppeltem Unterstrich? Was ist der Doppelpunkt?

anderstood

@BenCrowell Unterstreichung ist ein Vektor, Doppelunterstreichung ist ein Tensor (Cauchy-Spannungstensor und Dehnungstensor hier). Doppelpunkt ist das Doppelpunktprodukt von Tensoren.

Benutzer4552

Doppelpunktprodukt von Tensoren , dh Kontraktion auf beiden Indizes?

anderstood

@BenCrowell Ja, damit es einen Skalar gibt, aber das spielt hier keine Rolle :)

David z

Ich weiß nicht, ob dies in eine Antwort gehen sollte, aber Energie (oder Arbeit) ist ein Skalar in der Newtonschen Mechanik, keine lineare Form. Und Kräfte sind Vektoren, die in einem separaten Vektorraum leben (aber in dem Sinne "kompatibel", dass Sie ein Skalarprodukt zwischen dem Kraftraum und dem Verschiebungsraum nehmen können).

BMS

Kann mir jemand eine Interpretation des Integranden geben?

\vec{s} \cdot d \vec{F}

$\vec s \cdot \mathrm{d}\vec F$ ? Oder zumindest

d \vec{F}

$\mathrm{d}\vec F$ ? Mein Verstand versagt..

Franz Davey

Es ist ziemlich üblich (insbesondere bei fortgeschritteneren Arbeiten), Kraft als eine Form zu behandeln, also ist Arbeit nur das Integral dieser einen Form, während F.ds ein Skalar ist, also ist die Integration etwas anders. Ist das der Grund für die Verwirrung?

Franz Davey

dF wäre eine Zweierform :-).

anderstood

@FrancisDavey Es kann sehr wohl die Ursache für die Verwirrung sein. Die Antwort von Qmechanic geht tiefer ins Detail. Ich habe versucht, in meinem Kommentar zu seiner Antwort zusammenzufassen, was ich letztendlich verstanden habe. Ich schätze, du hast das in deinem Juraunterricht gelernt?! ;)

Franz Davey

@anderstood Ja, in der Barschule mussten wir Differentialgeometrie studieren :-). Ich bin kein typischer Anwalt. Kann ich William L. Burkes Applied Differential Geometry empfehlen: amazon.co.uk/Applied-Differential-Geometry-William-Burke/dp/… Mein Exemplar fällt buchstäblich auseinander (was das Lesen im Bett erschwert). Seine Perspektive unterscheidet sich stark von den meisten Büchern und kann manchmal wahnsinnig verwirrend sein, aber manchmal kann er großartige Einblicke geben. Ich verstehe Lagrangians viel besser, weil ich es zum Beispiel gelesen habe. Viel über äußeres Kalkül.

Franz Davey

PS: Wenn Kraft eine Einsform ist, dann muss (über F=ma) Masse ein Tensor vom Rang (0,2) sein :-). Das ist keine so dumme Bemerkung, wie sie auf den ersten Blick erscheinen mag.

anderstood

@FrancisDavey TY für die Referenz, es scheint weithin illustriert zu sein, was gut ist. Ich werde versuchen, mir Zeit zu nehmen, um es zu lesen ... Ich denke, in der klassischen Mechanik (Metrik = Identität) kann der Massentensor (0,2) als Matrix betrachtet werden, weil es keinen Basiswechsel gibt? Wenn Sie jemals meine Kommentare zu Qmechanic bestätigen oder entkräften können, wäre ich Ihnen sehr dankbar: D

Antworten (4)

Gibt es einen grundsätzlichen Grund, die Arbeit nicht umgekehrt zu definieren?

Ist die Unterstreichungsnotation für einen Vektor? Was ist die Notation mit doppeltem Unterstrich? Was ist der Doppelpunkt?
@BenCrowell Unterstreichung ist ein Vektor, Doppelunterstreichung ist ein Tensor (Cauchy-Spannungstensor und Dehnungstensor hier). Doppelpunkt ist das Doppelpunktprodukt von Tensoren.
Doppelpunktprodukt von Tensoren , dh Kontraktion auf beiden Indizes?
@BenCrowell Ja, damit es einen Skalar gibt, aber das spielt hier keine Rolle :)
Ich weiß nicht, ob dies in eine Antwort gehen sollte, aber Energie (oder Arbeit) ist ein Skalar in der Newtonschen Mechanik, keine lineare Form. Und Kräfte sind Vektoren, die in einem separaten Vektorraum leben (aber in dem Sinne "kompatibel", dass Sie ein Skalarprodukt zwischen dem Kraftraum und dem Verschiebungsraum nehmen können).
Kann mir jemand eine Interpretation des Integranden geben? $\vec s \cdot \mathrm{d}\vec F$ ? Oder zumindest $\mathrm{d}\vec F$ ? Mein Verstand versagt..
Es ist ziemlich üblich (insbesondere bei fortgeschritteneren Arbeiten), Kraft als eine Form zu behandeln, also ist Arbeit nur das Integral dieser einen Form, während F.ds ein Skalar ist, also ist die Integration etwas anders. Ist das der Grund für die Verwirrung?
@FrancisDavey Es kann sehr wohl die Ursache für die Verwirrung sein. Die Antwort von Qmechanic geht tiefer ins Detail. Ich habe versucht, in meinem Kommentar zu seiner Antwort zusammenzufassen, was ich letztendlich verstanden habe. Ich schätze, du hast das in deinem Juraunterricht gelernt?! ;)
@anderstood Ja, in der Barschule mussten wir Differentialgeometrie studieren :-). Ich bin kein typischer Anwalt. Kann ich William L. Burkes Applied Differential Geometry empfehlen: amazon.co.uk/Applied-Differential-Geometry-William-Burke/dp/… Mein Exemplar fällt buchstäblich auseinander (was das Lesen im Bett erschwert). Seine Perspektive unterscheidet sich stark von den meisten Büchern und kann manchmal wahnsinnig verwirrend sein, aber manchmal kann er großartige Einblicke geben. Ich verstehe Lagrangians viel besser, weil ich es zum Beispiel gelesen habe. Viel über äußeres Kalkül.
PS: Wenn Kraft eine Einsform ist, dann muss (über F=ma) Masse ein Tensor vom Rang (0,2) sein :-). Das ist keine so dumme Bemerkung, wie sie auf den ersten Blick erscheinen mag.
@FrancisDavey TY für die Referenz, es scheint weithin illustriert zu sein, was gut ist. Ich werde versuchen, mir Zeit zu nehmen, um es zu lesen ... Ich denke, in der klassischen Mechanik (Metrik = Identität) kann der Massentensor (0,2) als Matrix betrachtet werden, weil es keinen Basiswechsel gibt? Wenn Sie jemals meine Kommentare zu Qmechanic bestätigen oder entkräften können, wäre ich Ihnen sehr dankbar: D

Kyle Kanos · Answer 1

Der Grund der Beziehung

W = \int S \cdot D F

$W=\int\mathbf s\cdot d\mathbf F$ funktioniert nicht, weil Arbeit als Ergebnis einer Kraft definiert wird

F

$\mathbf F$ an einem Punkt, der sich über eine Strecke bewegt. Der Punkt folgt einer Kurve

s

$\mathbf s$ mit einer Geschwindigkeit

v

$\mathbf v$ . Der geringe Arbeitsaufwand,

δ W

$\delta W$ , die im Augenblick auftritt

d t

$dt$ Ist

δ W = F (S) \cdot v (S) D T

$\delta W=\mathbf F(\mathbf s)\cdot\mathbf v(\mathbf s)dt$ Integration beider Seiten,

W = \int F (S) \cdot v (S) D T

$W=\int\mathbf F(\mathbf s)\cdot\mathbf v(\mathbf s)dt$ seit

v = d s / d t

$\mathbf v=d\mathbf s/dt$ , das ist

W = \int F (S) \cdot \frac{D S}{D T} D T \equiv \int F (S) \cdot D S

$W=\int\mathbf F(\mathbf s)\cdot\frac{d\mathbf s}{dt}dt\equiv\int\mathbf F(\mathbf s)\cdot d\mathbf s$ Alternativ _

F = m a

$\mathbf F=m\mathbf a$ , das würde uns also geben

W = M \int A \cdot v D T

$W=m\int \mathbf a\cdot\mathbf v\,dt$ Seit

a = d v / d t

$\mathbf a=d\mathbf v/dt$ , Das ist wirklich

W = M \int D v \cdot v = \frac{1}{2} M v^{2}

$W=m\int d\mathbf v\cdot\mathbf v=\frac12mv^2$ was uns zurück zum Arbeit-Energie-Theorem bringt. Beachten Sie jedoch, dass dies immer noch nicht der Fall ist

v \cdot d F

$\mathbf v\cdot d\mathbf F$ , es ist etwas ganz anderes.

Ich habe jetzt positiv gestimmt, dass Sie die Abhängigkeiten hinzugefügt haben $s$ . Das scheint (ein Teil von) dem zu sein, wonach ich suche, weil es zeigt, dass F und s keine symmetrische Rolle spielen. TY
@anderstood: Ich habe auch einen alternativen Blick auf die Arbeit hinzugefügt, wenn ich versuche, sie zu behalten $\mathbf v$ dort statt zu halten $\mathbf F$ Dort.

Andre Chalella · Answer 2

Andre Chalella

Denn wenn ich nach Ihren Definitionen einen Gummistab mit konstanter Kraft belaste, bis er auseinander reißt, habe ich ihm kein Joule Arbeit zugefügt.

anderstood

Sicher, aber warum ist das so

W

$W$ hat eine physikalische Bedeutung und

W^{'}

$W'$ nicht wirklich? Natürlich könnte ich es auch umgekehrt sehen "wir definieren W durch ..." und das ist alles.

Benutzer4552

Eine andere Möglichkeit, dies auszudrücken, ist, dass Sie bei der Integration nach Teilen nicht nur haben

\int u d v = \int v d u

$\int u d v=\int v d u$ ; da ist auch ein

u v

$uv$ Begriff. Ein weiterer Weg, um zu sehen, dass dies keinen Sinn macht, ist das

F

$F$ ist eine Funktion von

s

$s$ , Aber

s

$s$ ist keine Funktion von

F

$F$ . Und noch ein anderer Weg:

d s

$d s$ bedeutet eine infinitesimale Verschiebung, was Sinn macht, aber

d F

$d F$ wäre eine infinitesimale Kraft, die keinen Sinn ergibt.

anderstood

@BenCrowell Vielen Dank für diese aufschlussreichen Erklärungen. Ich denke, ich versuche, eine symmetrische Beziehung zwischen zu finden

F

$F$ Und

s

$s$ (oder

v

$v$ ) obwohl es nicht möglich ist. Diese Idee, dass sie symmetrisch sind, stammt aus meinem Verständnis der symplektischen Mechanik (siehe meine Bearbeitung). Irgendwas muss ich falsch verstanden haben.

Andre Chalella

Nun, ich kann bei den anspruchsvolleren Aspekten wirklich nicht viel helfen, aber ich hoffe, ich habe Ihnen geholfen, mit wenigen Worten zu verstehen, warum es keinen praktischen Sinn ergibt. Beachte das auch

d F

$dF$ macht manchmal Sinn: Denken Sie daran, dass für ein Kontrollvolumen in einem reversiblen, stationären Prozess

δ W = - v d p

$\delta W = -v\ \text{d} p$ .

David z · Answer 3

Für den Anfang sind diese nicht dasselbe. Die partielle Integrationsregel macht dies ziemlich offensichtlich:

\int_{ich}^{F} j D X = j_{F} X_{F} - j_{ich} X_{ich} - \int_{ich}^{F} X D j

$\int_i^f y\,\mathrm{d}x = y_f x_f - y_i x_i - \int_i^f x\,\mathrm{d}y$

Aber dann fragen Sie sich vielleicht, was macht $\int \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{s}$ die "richtige" Definition für Arbeit während $\int \vec{s}\cdot\mathrm{d}\vec{F}$ ist die "falsche". Kurz gesagt, die "falsche" Definition hängt stark davon ab, wie Sie definieren $\vec{s}$ . Wenn du es nur lässt $\vec{s}$ die Position sein, dann erhalten Sie unterschiedliche Ergebnisse für $\int\vec{s}\cdot\mathrm{d}\vec{F}$ abhängig davon, wo Sie den Ursprung Ihres Koordinatensystems wählen. Physik sollte so nicht funktionieren. Andererseits, $\int\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{s}$ bezieht sich nur auf die Unterschiede zwischen den Koordinaten und ist daher unabhängig davon, wo Sie den Ursprung setzen.

QMechaniker · Answer 4

Es gibt schon viele gute Antworten. Neben der Tatsache, dass sich die Standarddefinition von Arbeit direkt auf das Arbeitsenergietheorem und den Begriff der potentiellen Energie bezieht , gibt es hier ein geometrisches Argument.

I) Die Kraft $F_i(x,v,t)$ , $i\in\{1,2,3\},$ verwandelt sich als $(0,1)$ Co-Vektor

\begin{matrix} (1) & F_{ich} = \sum_{J = 1}^{3} F_{J}^{'} \frac{\partial X^{' J}}{\partial X^{ich}}, ich \in {1, 2, 3}, \end{matrix}

$\tag{1} F_i ~=~\sum_{j=1}^3F^{\prime}_j \frac{\partial x^{\prime j}}{\partial x^i} , \qquad i\in\{1,2,3\},$

unter räumlichen Koordinatentransformationen

\begin{matrix} (2) & X^{ich} ⟶ X^{' J} = F^{J} (X) . \end{matrix}

$\tag{2} x^i~\longrightarrow x^{\prime j}~=~f^j(x).$

Das bedeutet, dass

\begin{matrix} (3) & F = \sum_{ich = 1}^{3} F_{ich} D X^{ich} \end{matrix}

$\tag{3} \mathbb{F}~=~\sum_{i=1}^3F_i ~\mathbb{d} x^i$

ist eine Einsform, die unabhängig von lokalen Koordinaten ist, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

II) Auf der anderen Seite sowohl die Menge

\begin{matrix} (4) & \sum_{ich = 1}^{3} X^{ich} F_{ich} Und \sum_{ich = 1}^{3} X^{ich} D F_{ich} \end{matrix}

$\tag{4} \sum_{i=1}^3x^iF_i\quad\text{and}\quad\sum_{i=1}^3x^i \mathbb{d}F_i$

vom Koordinatensystem abhängen. Daher ist es geometrisch meist nicht so sinnvoll zu wissen, dass die Einsform (3) geschrieben werden kann als

\begin{matrix} (5) & F = D \sum_{ich = 1}^{3} X^{ich} F_{ich} - \sum_{ich = 1}^{3} X^{ich} D F_{ich}; \end{matrix}

$\tag{5} \mathbb{F}~=~ \mathbb{d} \sum_{i=1}^3x^iF_i - \sum_{i=1}^3x^i \mathbb{d}F_i;$

oder äquivalent, wenn entlang einer Kurve integriert $\gamma:[0,T]\to \mathbb{R}^3$ , diese Arbeit kann geschrieben werden als

\begin{matrix} (6) & W = \int_{γ} F = {[\sum_{ich = 1}^{3} X^{ich} F_{ich}]}_{T = 0}^{T = T} - \int_{γ} \sum_{ich = 1}^{3} X^{ich} D F_{ich}, \end{matrix}

$W\tag{6} ~=~\int_{\gamma}\mathbb{F}~=~ \left[\sum_{i=1}^3x^i~F_i \right]_{t=0}^{t=T}-\int_{\gamma}\sum_{i=1}^3x^i \mathbb{d}F_i ,$

Dies ist die alternative Formel von (minus) OP bis zu den Grenzbedingungen.

Danke, dass Sie die Dinge klarer gemacht haben. Wenn ich es also richtig verstehe, kann eine Kraft als Covektor angesehen werden $F_i$ . Es definiert eine 1-Form $\mathbb{F}$ , also ein glatter Abschnitt des Kotangensbündels ( $M\longrightarrow T^\star M$ ). Auch, $x\in M$ Und $v\in T_x M$ . Per Definition ist die Arbeit das Integral der 1-Form $\mathbb{F}$ . Diese 1-Form wird natürlicher in Bezug auf die Basis von beschrieben $T^\star M$ : $\mathbf{d}x^i$ , natürlich in dem Sinne, dass sie nicht von einem Satz lokaler Koordinaten abhängt. Einverstanden?
Zusätzlich gilt im speziellen Fall der linearen Elastizität, $F_i=kx^i$ (Bei der bin ich mir nicht sicher $x^i$ anstatt $x_i$ , es sollte ein metrischer Tensor beteiligt sein ...?) also $\mathrm{d}F_i=k\mathrm{d}x^i$ Und $\mathbb{F}=F_i\mathrm{d}x^i=x^i\mathrm{d}F_i$ , So $x$ Und $F$ kann in der Definition von invertiert werden $W$ . Aus dem gleichen Grunde, $\int \sigma:\mathrm{d}\varepsilon=\int \varepsilon:\mathrm{d}\sigma$ in linearer Elastizität (und kleinen Dehnungen). Scheint es richtig zu sein?

Gibt es einen grundsätzlichen Grund, die Arbeit nicht umgekehrt zu definieren?

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