Die geleistete Arbeit ändert sich zwischen Referenzrahmen?

Hier ist eine Feinheit im Spiel. Formulieren wir das Problem so: Angenommen, der Flugbegleiter hat eine Energiemenge E, um seinen Wagen auf eine Geschwindigkeit zu beschleunigen$v_2$in Bezug auf das Flugzeug. Wenn er das tut, während das Flugzeug auf dem Boden steht, ist die gesamte Energie des Karrens$\frac{\text{mv}_2^2}{2}$. Wenn er das tut, während das Flugzeug mit hoher Geschwindigkeit in der Luft ist$v_1$, dann ist die Gesamtenergie des Wagens$\frac{\text{mv}_2^2}{2}+\text{mv}_1 v_2$was größer ist als die Gesamtenergie des Wagens im ersten Fall, obwohl die Begleitperson in beiden Fällen die gleiche Arbeit geleistet hat. Wir scheinen also ein Paradoxon zu haben.

Der Schlüssel zur Entwirrung des Paradoxons besteht darin, zu erkennen, dass der Flugbegleiter, wenn er den Wagen nach vorne schiebt, den Rest des Flugzeugs mit einer geringen Geschwindigkeit nach hinten schiebt. Diese kleine Abnahme der Geschwindigkeit des Flugzeugs scheint so unendlich gering zu sein, dass sie ignoriert werden könnte, aber wenn Sie die Tatsache berücksichtigen, dass die kinetische Energie des Flugzeugs proportional zu seiner (sehr großen) Masse ist, sogar eine kleine Abnahme der Geschwindigkeit des Flugzeugs kann hier bei der Betrachtung der Energieänderungen eine wesentliche Rolle spielen. Sie werden feststellen, dass die Abnahme der kinetischen Energie des Flugzeugs das Problem aufhebt$\text{mv}_1 v_2$Term, so dass die Gesamtenergie, die dem gesamten System (Flugzeug+Wagen) durch die Begleitperson zugeführt wird, in beiden Fällen gleich ist.

Oder eine andere Betrachtungsweise ist, wenn Sie verlangen, dass das Flugzeug genau die gleiche Geschwindigkeit beibehält$v_1$trotz der Tatsache, dass der Flugbegleiter plötzlich beschließt, seinen Wagen mit einer Geschwindigkeit vorwärts zu schieben$v_2$, dann müssen die Triebwerke des Flugzeugs kurzzeitig etwas härter arbeiten, um die Geschwindigkeit beizubehalten$v_1$gegen die Kraft, die von den Füßen des Flugbegleiters ausgeübt wird, wenn er versucht, den Rest des Flugzeugs leicht nach hinten zu schieben, wenn er den Wagen nach vorne schiebt. Diese zusätzliche Energie, die von den Triebwerken des Flugzeugs bereitgestellt wird, funktioniert$\text{mv}_1 v_2$Das ist die zusätzliche Energie, über die Sie sich bei Ihrem ursprünglich genannten Problem gewundert haben.

Versuchen Sie, das Problem vollständig selbst zu lösen und berücksichtigen Sie, dass das Flugzeug eine große (aber endliche) Masse M hat und der Wagen eine kleinere Masse m. Nehmen Sie an, dass das Flugzeug eine hohe Geschwindigkeit hat$v_1$und dass plötzlich eine Energiemenge bereitgestellt wird, die den Wagen mit einer Geschwindigkeit vorwärts treibt$v_2$in Bezug auf den Schwerpunkt des Wagens + der Ebene. Sehen Sie unter Verwendung der Impulserhaltung, wie stark das Flugzeug dadurch langsamer wird. Berechnen Sie dann die Gesamtenergien vor und nach und sehen Sie, wie sie sich vergleichen.

Nun, es gibt a priori keinen Grund zu erwarten, dass Arbeit eine relativistische Invariante ist.