Kurze Antwort

Ich verstehe nicht, warum in der letzten Gleichung der verallgemeinerte Impuls anstelle des gewöhnlichen Impulses verwendet wird.

Das generalisierte Momentum$\vec P$wird verwendet, weil Hamiltons Bewegungsgleichungen die zeitliche Ableitung des verallgemeinerten Impulses in Beziehung setzen$d \vec P/dt$-- nicht die zeitliche Ableitung des kinetischen Impulses$d \vec p/dt$-- zu den negativen partiellen Ableitungen des Hamilton-Operators in Bezug auf die verallgemeinerte Position$-\partial H/\partial \vec r$.

Und es ist mir nicht klar, warum der letzte Term in dieser Gleichung$e\left( {\vec v\frac{{\partial \vec A}}{{\partial \vec r}} - \frac{{\partial \vec A}}{{\partial \vec r}}\vec v} \right)$ist nicht null und was${\frac{{\partial \vec A}}{{\partial \vec r}}}$bedeutet? Wenn${\vec A}$ein Skalar wäre, wäre es nur ein Gradientenwert, aber die Vektorgröße verwirrt mich

Richtig. Wenn$\vec A$Wären sie stattdessen ein Skalarfeld, würde dieser Begriff den Gradienten eines Skalarfelds bezeichnen. Es stellt sich heraus, dass wir das Konzept eines Gradienten nicht nur auf Skalare, sondern auch auf Vektoren und allgemeiner auf Tensoren anwenden können , eine Klasse geometrischer Objekte, auf die Skalare oder Tensoren nullter Ordnung und Vektoren oder Tensoren erster Ordnung angewendet werden können , gehören. Da der Gradient eines Tensors nullter Ordnung einen Tensor erster Ordnung ergibt, könnten Sie vermuten, dass der Gradient eines Tensors erster Ordnung einen Tensor zweiter Ordnung ergibt, ein geometrisches Objekt, das mit einem dargestellt werden kann$n \times n$Matrix; Sie hätten Recht, und obwohl es in der von Ihnen gewählten Notation nicht so klar ist, ist die Tatsache, dass$\partial \vec A/\partial \vec r$-- der Gradient des Vektorfeldes$\vec A$-- ein Tensor zweiter Ordnung ist, ist genau der Grund dafür$\vec v (\partial \vec A/\partial \vec r) - (\partial \vec A/\partial \vec r)\vec v \neq 0$.

In der Tat, nur durch Inspektion, sollten Sie sich zumindest davon überzeugen können, seitdem

$$- e\frac{\partial \vec A}{\partial t} - e\frac{\partial \phi}{\partial \vec r} = e \left(-\frac{\partial \vec A}{\partial t} - \frac{\partial \phi}{\partial \vec r}\right) = e \vec E$$

das muss es sein$\vec v (\partial \vec A/\partial \vec r) - (\partial \vec A/\partial \vec r)\vec v = \vec v \times \vec B$, da die rechte Seite der Gleichung für$d \vec p/dt$sollte den korrekten Ausdruck für die Lorentzkraft liefern.

Lange Antwort

Jetzt beweisen wir unsere Überzeugung.

Tensoren ein$\mathbb R^3$

Betrachten Sie eine Vektorbasis$\{\mathbf e_i\}$, wo der Index$i$reicht von 1 bis 3, und nehmen Sie der Einfachheit halber an, dass diese Vektorbasis euklidisch ist; mit anderen Worten, das Skalarprodukt von Basisvektoren$\mathbf e_i$Und$\mathbf e_j$gibt,

$$\mathbf e_i \cdot \mathbf e_j = \delta_{ij} \tag{1}$$

Wo

$$\left(\delta_{ij}\right) = \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right) \tag{2}$$

ist die Identitätsmatrix.

Ein Vektor$\mathbf f$kann in dieser Koordinatenbasis ausgedrückt werden als

$$\mathbf f = \sum_{i=1}^3 f_i\, \mathbf e_i = \left(\begin{matrix} f_1 & f_2 & f_3 \end{matrix}\right)_{\{\mathbf e_i\}} \tag{3}$$

während ein Tensor zweiter Ordnung$\mathbf F$kann ausgedrückt werden als,

$$\mathbf F = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 F_{ij}\, \mathbf e_i \otimes \mathbf e_j = \left(\begin{matrix} F_{11} & F_{12} & F_{13} \\ F_{21} & F_{22} & F_{23} \\ F_{31} & F_{32} & F_{33} \end{matrix}\right)_{\{\mathbf e_i \otimes \mathbf e_j\}} \tag{4}$$

Wo$\mathbf e_i \otimes \mathbf e_j$heißt äußeres Produkt von$\mathbf e_i$Und$\mathbf e_j$. Das äußere Produkt ist so definiert, dass bei gegebenen Vektoren$\mathbf a$,$\mathbf b$,$\mathbf c$, Und$\mathbf d$,

$$(\mathbf a \otimes \mathbf b) \cdot (\mathbf c \otimes \mathbf d) = (\mathbf b \cdot \mathbf c)(\mathbf a \otimes \mathbf d) \tag{5}$$

oder gleichwertig,

$$(\mathbf a \otimes \mathbf b) \cdot \mathbf c = (\mathbf b \cdot \mathbf c)\mathbf a$$ $$\mathbf c \cdot (\mathbf a \otimes \mathbf b) = (\mathbf c \cdot \mathbf a)\mathbf b \tag{6}$$

Die Transponierung von$\mathbf a \otimes \mathbf b$, bezeichnet als$(\mathbf a \otimes \mathbf b)^T$, ist definiert als,

$$(\mathbf a \otimes \mathbf b)^T = \mathbf b \otimes \mathbf a \tag{7}$$

und so kann (6) umgeschrieben werden als

$$(\mathbf a \otimes \mathbf b) \cdot \mathbf c = \mathbf c \cdot (\mathbf a \otimes \mathbf b)^T = (\mathbf b \cdot \mathbf c)\mathbf a$$ $$\mathbf c \cdot (\mathbf a \otimes \mathbf b) = (\mathbf a \otimes \mathbf b)^T \cdot \mathbf c = (\mathbf c \cdot \mathbf a)\mathbf b \tag{8}$$

Zusätzlich wird durch Anwenden von (7) auf (4) die Transponierung von$\mathbf F$, bezeichnet$\mathbf F^T$, Ist,

$$\mathbf F^T = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 F_{ij}\, \mathbf e_j \otimes \mathbf e_i = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 F_{ji}\, \mathbf e_i \otimes \mathbf e_j = \left(\begin{matrix} F_{11} & F_{21} & F_{31} \\ F_{12} & F_{22} & F_{32} \\ F_{13} & F_{23} & F_{33} \end{matrix}\right)_{\{\mathbf e_i \otimes \mathbf e_j\}} \tag{9}$$

Wenn der Tensor zweiter Ordnung$\mathbf F^T = \mathbf F$, Dann$\mathbf F$soll symmetrisch sein ; Wenn$\mathbf F^T = -\mathbf F$, Dann$\mathbf F$soll antisymmetrisch sein .

Ein Tensor dritter Ordnung$\mathbf \Phi$kann ausgedrückt werden als,

$$\mathbf \Phi = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \Phi_{ijk}\, \mathbf e_i \otimes \mathbf e_j \otimes \mathbf e_k \tag{10}$$

Ein häufig anzutreffender Tensor dritter Ordnung, bekannt als der alternierende Tensor , bezeichnet als$\mathbf \epsilon$, ist definiert als,

$$\mathbf \epsilon = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \epsilon_{ijk}\, \mathbf e_i \otimes \mathbf e_j \otimes \mathbf e_k \tag{11}$$

so dass$\mathbf \epsilon$ist antisymmetrisch unter einem Austausch von zwei beliebigen Indizes (zB$\epsilon_{jik} = -\epsilon_{ijk}$) Und$\epsilon_{123} = 1$. Beachten Sie, dass dies impliziert, dass jede Komponente$\epsilon_{ijk}$bei dem zwei oder mehr Indizes auf denselben Wert gesetzt sind, gleich Null ist (z$\epsilon_{112} = 0$).

In vielen Veröffentlichungen ist es üblich, die Summationssymbole wegzulassen, die in den Ausdrücken für die oben angegebenen Tensoren zu finden sind. dies ist als Einstein-Summierungskonvention bekannt , und diese Konvention wird von diesem Punkt an verwendet. Die Regeln der Einstein-Summenkonvention lauten wie folgt:

1. In einem Term, der nur das Produkt von Tensorkomponenten beinhaltet, wenn es sich um einen Index handelt$i$kommt dann nur einmal im Begriff vor$i$wird als freier Index bezeichnet , und eine Summierung auf diesem Index ist nicht impliziert.
2. In einem Term, der nur das Produkt von Tensorkomponenten beinhaltet, wenn es sich um einen Index handelt$i$kommt also zweimal im Begriff vor$i$wird als Summierungsindex bezeichnet , und eine Summierung dieses Index ist impliziert.
3. Für jeden Index$i$, können Sie es mit jedem anderen Buchstaben bezeichnen, der nicht bereits als Index im selben Begriff verwendet wird.
4. Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, darf kein Index mehr als zweimal im selben Begriff vorkommen.

Relevante Tensoroperationen

Das Skalarprodukt zweier Vektoren$\mathbf a$Und$\mathbf b$, bezeichnet$\mathbf a \cdot \mathbf b$, wird gegeben durch,

$$\mathbf a \cdot \mathbf b = a_i b_j\, \mathbf e_i \cdot \mathbf e_j = a_i b_j \delta_{ij} = a_i b_i \tag{12}$$

Ebenso das Skalarprodukt für einen Vektor$\mathbf a$und ein Tensor zweiter Ordnung$\mathbf B$wird gegeben von,

$$(\mathbf B \cdot \mathbf a)_i = B_{ij} \delta_{jk} a_k = B_{ij}a_j$$ $$(\mathbf a \cdot \mathbf B)_i = a_k \delta_{kj} B_{ji} = B_{ji}a_j \tag{13}$$

Wo$(\mathbf B \cdot \mathbf a)_i$Und$(\mathbf a \cdot \mathbf B)_i$sind jeweils die$i$-ten Komponenten der Vektoren$\mathbf B \cdot \mathbf a$Und$\mathbf a \cdot \mathbf B$.

Das Vektorprodukt zweier Vektoren$\mathbf a$Und$\mathbf b$, bezeichnet$\mathbf a \times \mathbf b$, wird gegeben durch,

$$(\mathbf a \times \mathbf b)_i = \epsilon_{ijk} a_j b_k \tag{14}$$

Wo$(\mathbf a \times \mathbf b)_i$ist der$i$-te Komponente von$\mathbf a \times \mathbf b$. Ebenso die Kräuselung eines Vektors$\mathbf a$wird gegeben von,

$$(\nabla \times \mathbf a)_i = \epsilon_{ijk} \frac{\partial a_k}{\partial x_j} \tag{15}$$

Wo$x_j$ist der$j$-te Komponente des Positionsvektors$\mathbf r$relativ zum Ursprung unserer Koordinatenbasis.

Der Gradient eines Vektors$\mathbf a$, ein Tensor zweiter Ordnung bezeichnet$\nabla \mathbf a$, ist definiert als,

$$(\nabla \mathbf a)_{ij} = \frac{\partial a_i}{\partial x_j} \tag{16}$$

Wo$(\nabla \mathbf a)_{ij}$ist die Komponente von$\nabla \mathbf a$dem äußeren Produkt zugeordnet$\mathbf e_i \otimes \mathbf e_j$.

Eine Anmerkung zu antisymmetrischen Tensoren zweiter Ordnung

Wenn ein Tensor zweiter Ordnung$\mathbf F$ist antisymmetrisch (d$F_{ji} = -F_{ij}$), dann gibt es einige Skalare$f_k$so dass,

$$F_{ij} = \epsilon_{ijk} f_k \tag{17}$$

oder gleichwertig,

$$f_k = \frac{1}{2}\epsilon_{ijk}F_{ij} \tag{18}$$

und der Vektor$\mathbf f$wofür$f_k$ist der$k$-te Komponente heißt Achsenvektor von$\mathbf F$. Beachten Sie, dass die Definition für das Vektorprodukt in (14) auch die Komponenten des alternierenden Tensors beinhaltet. Das ist kein Zufall, denn das Vektorprodukt in$\mathbb R^3$zwischen zwei Vektoren$\mathbf a$Und$\mathbf f$ist eigentlich das Ergebnis eines Skalarprodukts zwischen einem antisymmetrischen Tensor$\mathbf F$und ein Vektor$\mathbf a$,

$$F_{ij}a_j = \epsilon_{ijk} a_j f_k \tag{19}$$

Die Lorentzkraft

Jetzt sind wir in der Lage, die Gleichung zu betrachten, für die Sie geschrieben haben$d \vec p/dt$klarere Notation verwenden,

$$\begin{align} \frac{d\mathbf p}{dt} & = e\left[\left(-\frac{\partial \mathbf A}{\partial t} - \nabla \phi \right) + \mathbf v \cdot \nabla \mathbf A - \nabla \mathbf A \cdot \mathbf v\right] \\ & = e\left(\mathbf E + \mathbf v \cdot \nabla \mathbf A - \nabla \mathbf A \cdot \mathbf v\right) \end{align} \tag{20}$$

Schreiben wir dies in Summennotation um:

$$\begin{align} \frac{dp_i}{dt} & = e\left(E_i + v_l \delta_{lj}\frac{\partial A_j}{\partial x_i} - \frac{\partial A_i}{\partial x_j} \delta_{jl} v_l\right) \\ & = e\left(E_i + \left(\frac{\partial A_j}{\partial x_i} - \frac{\partial A_i}{\partial x_j}\right) v_j\right) \end{align} \tag{21}$$

Der Begriff$(\partial A_j/\partial x_i) - (\partial A_i/\partial x_j)$ist eindeutig die Komponente$F_{ij}$eines antisymmetrischen Tensors zweiter Ordnung$\mathbf F$, und damit die Komponenten seines entsprechenden axialen Vektors$f_k$Sind,

$$\begin{align} f_k & = \frac{1}{2} \epsilon_{ijk} \left(\frac{\partial A_j}{\partial x_i} - \frac{\partial A_i}{\partial x_j}\right) \\ & = \frac{1}{2} \left(\epsilon_{ijk}\frac{\partial A_j}{\partial x_i} - \epsilon_{ijk}\frac{\partial A_i}{\partial x_j}\right) \\ & = \frac{1}{2} \left(\epsilon_{kij}\frac{\partial A_j}{\partial x_i} + \epsilon_{kji}\frac{\partial A_i}{\partial x_j}\right) \\ & = \frac{1}{2} \left[\left(\nabla \times \mathbf A\right)_k + \left(\nabla \times \mathbf A\right)_k\right] \\ & = \left(\nabla \times \mathbf A\right)_k \\ & = B_k \end{align} \tag{22}$$

Daher,

$$\begin{align} \frac{dp_i}{dt} & = e\left(E_i + \left(\frac{\partial A_j}{\partial x_i} - \frac{\partial A_i}{\partial x_j}\right) v_j\right) \\ & = e\left(E_i + \epsilon_{ijk} B_k v_j\right) \\ & = e\left(E_i + \left(\mathbf v \times \mathbf B\right)_i \right) \\ \end{align} \tag{23}$$

Eine abschließende Bemerkung zur Tensorformulierung des Elektromagnetismus

Wenn wir elektromagnetische Phänomene im Kontext der Relativitätstheorie untersuchen, können wir aufgrund der nicht-euklidischen Natur der Geometrie der Raumzeit unsere mathematische Analyse nicht vereinfachen, indem wir auf einer dreidimensionalen euklidischen Basis arbeiten; Da Tensoren jedoch geometrische Objekte sind, die unabhängig von einer Koordinatenbasis existieren, die zu ihrer Beschreibung verwendet wird , kann eine ähnliche Analyse durchgeführt werden, um das richtige Ergebnis zu erzielen, und in der Minkowski-Raumzeit werden Sie am Ende a konstruieren$4 \times 4$antisymmetrischer Tensor der Form,

$$F_{\mu \nu} = \partial_{\mu}A_{\nu} - \partial_{\nu}A_{\mu} = \left(\begin{matrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & B_z & -B_y \\ E_y/c & -B_z & 0 & B_x \\ E_z/c & B_y & -B_x & 0 \\\end{matrix}\right) \tag{24}$$

besser bekannt als der elektromagnetische Feldtensor und das Lorentzkraftgesetz für eine Ladung$q$wird die Form annehmen

$$\frac{dp_\mu}{d \tau} = qF_{\mu\nu}U^{\nu} \tag{25}$$

Wo$p_\mu$sind die kovarianten Komponenten des Viererimpulses der Ladung,$\tau$ist die Eigenzeit, die von der Ladung erfahren wird, und$U^{\nu}$sind die kontravarianten Komponenten der Vierergeschwindigkeit der Ladung.