Warum ist der Phasenraum eines einfachen Pendels auf einem Zylinder definiert und nicht auf T2T2\mathbb{T}^{2}?

Nehmen wir die Pendelgleichung X ¨ = − Sünde ⁡ X . Hier X ∈ T 1 . Schreiben Sie es nun als gekoppeltes System erster Ordnung um

j ˙ = − Sünde ⁡ X , X ˙ = j .

Intuitiv wissen wir das j entspricht der Geschwindigkeit, deren Norm (dh Geschwindigkeit) beliebig groß oder klein sein kann, also j ∈ R . Daher ist der Phasenraum des Pendels der Zylinder T 1 × R .

Jedoch X ( T ) = X ( T + T 0 ) für einige Zeit T 0 und per definitionem j = X ˙ erwarten wir auch j ( T ) = j ( T + T 0 ) , dh wir können sagen j ∈ T 1 .

Ist das ein Widerspruch? Warum definieren wir j angesagt sein R und nicht drin T ?

So schreibt man den harmonischen Oszillator nicht. Die Gleichung für den harmonischen Oszillator lautet M X ¨ = − k X , nicht X ¨ = − Sünde ⁡ ( X ) ! Auch, j = X ˙ gilt nur auf Trajektorien, die Lösungen der Gleichungen der (korrekten) Bewegungsgleichungen sind, nicht im gesamten Phasenraum ( X ˙ macht ohne Trajektorie nicht einmal Sinn). Ich bin mir nicht sicher, welches von denen genau dein Problem ist.
Deshalb sagte ich "einfaches Pendel", kein harmonischer Oszillator! Wie auch immer, der Kontext meiner Frage konzentriert sich eher auf den mathematischen Aspekt als auf die Physik (ich habe nur den Begriff Pendel verwendet, weil es ein gängiges Beispiel für einen Zylinderphasenraum für ein dynamisches System ist) @ACuriousMind
Das „einfach“ in „einfaches Pendel“ bedeutet für mich, dass wir die Annäherung kleiner Winkel dort betrachten, wo es einfach wird . Wie auch immer, Ihre zugrunde liegende Frage scheint zu lauten: "Warum erzwingt ein Kreis für die Werte einer verallgemeinerten Koordinate keinen Kreis für die Werte ihres konjugierten Impulses?", Richtig?
Im Wesentlichen ja. Aber ich habe eine viel allgemeinere Frage zu einem beliebigen dynamischen System ohne jegliche Relevanz für die Physik: Wenn wir die Ordnung einer Ode reduzieren, indem wir eine neue Variable einführen, wie bestimmen wir dann, in welchem ​​Raum sich diese neue Variable befindet? Nehmen wir also an, wir hätten diese Ode, die ich oben geschrieben habe ... ohne Bezugnahme auf ein Pendel. Wie würden wir entscheiden, ob j ∈ R , basierend auf dem Wissen, dass X ∈ T ?... @ACuriousMind

Antworten (4)

X ∈ T 1 bezeichnet die Struktur des Phasenraums selbst, nicht die Tatsache, dass die Bewegung als Funktion der Zeit periodisch ist. Im Phasenraum kann jede beliebige Bewegung des Pendels dargestellt werden, nicht nur die (zeitlich) periodischen. Wir haben X ∈ T 1 weil Sie das Pendel für einen vollständigen Zyklus um das Scharnier drehen können und am Ende denselben Zustand haben. Dasselbe kann man nicht sagen j .

Ah ich sehe. Ihr Kommentar gibt mir hier einige wertvolle Einblicke. Was ist mit dem allgemeinen Fall, ohne Bezug auf die Physik. Angenommen, Sie haben eine Ode zweiter Ordnung. Sie nehmen eine Variablenänderung vor j = X ˙ um das System auf ein gekoppeltes Knotensystem erster Ordnung zu reduzieren. Vermuten X ist in einem Raum: sagen X ∈ T . Was kannst du dazu sagen j ? Wird es drin sein T oder R ? @pathintegral
Wenn Sie die Physik herausnehmen, können Sie, glaube ich, nichts dazu sagen j . In der Quantenmechanik eine Situation, wenn j ∈ T 1 wenn kontinuierliche Übersetzung zu diskreten degradiert wird, dh wenn euer "Universum" ein Kristallgitter ist. Aber in der QM kann ein Zustand wegen der Heisenbergschen Unschärferelation nicht durch einen Punkt im Phasenraum dargestellt werden. Die Größe des "Pixels" im Phasenraum ist ℏ .

  1. Wenn die Lagrange-Formulierung Konfigurationsraum hat M , und die Legendre-Transformation nicht-singulär ist, dann ist der entsprechende Phasenraum in der Hamilton-Formulierung das Kotangensbündel T ∗ M . (Für das Pendel der Konfigurationsraum M ≅ S 1 ist ein Kreis.)

  2. Für Modelle mit 2-Torus S 1 × S 1 als Phasenraum, siehe diesen Phys.SE-Beitrag.

Die Lagrange-Mechanik ist auf einem Tangentenbündel definiert, dem Tangentenbündel des Konfigurationsraums. Für das Pendel ist der Konfigurationsraum S 1 Der Kreis. Sein Tangentenbündel ist trivial, das ist es auch S 1 × R .

Sie können zur Hamiltonschen Beschreibung übergehen, die vom Kotangensbündel lebt – auch das ist trivial, also ist es das auch S 1 × R . Das ist der Raum der Anfangsbedingungen . Die tatsächliche Bewegung wird in beiden Variablen periodisch sein, aber das ist etwas anderes.

(Es gibt etwas, das als invariantes Tori bezeichnet wird, bei dem die fast periodische Bewegung einen Torus im Phasenraum nachzeichnet. Ich bin mir nicht sicher, ob das für das Pendel gilt.)

Betrachten Sie alle möglichen Bewegungen des Pendels, X = X ICH ( T ) , X ˙ = X ˙ ICH ( T ) Wo ICH = { X 0 , X ˙ 0 } bezeichnet die Anfangsbedingungen dieser Lösung der Hamilton-Gleichungen. Variierend ICH Sie haben alle möglichen Lösungen.

Nun, es gibt eine offensichtliche Asymmetrie zwischen den beiden Hamilton-Variablen. X kann immer im Kreis genommen werden, wie − π ≤ X ≤ + π genügt, um alle Bewegungen des Pendels unabhängig voneinander zu beschreiben ICH . Ein größeres Intervall wäre überflüssig, um die Positionen des Pendels zu beschreiben. Umgekehrt gibt es kein ausreichend großes Intervall [ − X ˙ , X ˙ ] die alle Werte aller Funktionen enthalten kann R ∋ T ↦ X ˙ ICH ( T ) für jede Anfangsbedingung ICH . Diese Tatsache gilt auch bei jeder solchen Kurve R ∋ T ↦ X ˙ ICH ( T ) ist periodisch.

Warum ist der Phasenraum eines einfachen Pendels auf einem Zylinder definiert und nicht auf T2T2\mathbb{T}^{2}?
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