Der Satz von Liouville und die Bewahrung der Topologie

Hier ist etwas, von dem ich glaube, dass es ein einfacher Beweis ist. Leider verwendet es ein wenig Kohomologie.

Betrachten Sie die kanonische 2-Form im erweiterten Phasenraum$T^*M \times \mathbb{R}$

$$\omega = \sum_{i=1}^N dq_i \wedge dp_i - dH(\vec{q},\vec{p},t) \wedge dt ,$$

Wo$N = dim(M)$. Eine Funktion$f: M \to M$heißt kanonische Transformation iff$f^* \omega = \omega$. Somit gilt für jede kanonische Transformation

$$\sum_{i=1}^N dq_i \wedge dp_i - dH(\vec{q},\vec{p},t) \wedge dt = \sum_{i=1}^N dQ_i \wedge dP_i - dK(\vec{Q},\vec{P},T) \wedge dT ,$$

wo wir definiert haben$(\vec{Q},\vec{P},T) = f^*(\vec{q},\vec{p},t)$. Das bedeutet, dass

$$\sum_{i=1}^N q_i dp_i - H(\vec{q},\vec{p},t) dt - \left( \sum_{i=1}^N Q_i dP_i - dK(\vec{Q},\vec{P},T) dT \right) = dG ,$$

dh dass die tautologischen Formen, die den kanonischen 2-Formen zugeordnet sind, Elemente derselben de Rham-Kohomologieklasse sind. Durch die homotope Invarianz der de Rham-Kohomologie ist

$$\oint_\gamma \left( \sum_{i=1}^N q_i dp_i - H(\vec{q},\vec{p},t) dt \right) = \oint_{\Gamma} \left( \sum_{i=1}^N Q_i dP_i - dK(\vec{Q},\vec{P},T) dT \right) ,$$

Wo$\Gamma$ist das Bild der Kurve$\gamma$von$f$.

Da Bewegung als kanonische Transformation angesehen werden kann, haben wir gerade bewiesen, dass die Hamiltonsche Evolution im erweiterten Phasenraum nur homotope Kurven in Beziehung setzen muss. Eine Folge davon ist, dass, wenn Sie mit einer kompakten, einfach zusammenhängenden Menge im Phasenraum beginnen und ihre Entwicklung in der Zeit verfolgen, die Kurve, die diese Menge begrenzt, sich nur zu anderen entwickeln kann, die homotop zu ihr sind. Da eine einfach zusammenhängende Mengengrenze niemals homotop zu einer nicht einfach zusammenhängenden ist, haben wir gerade gezeigt, dass die Hamiltonsche Evolution einfach zusammenhängende Mengen in einfach zusammenhängende Mengen umwandelt.

Es tut mir wirklich leid, wenn das zu technisch ist. Ich bin zu unwissend, um einen Beweis mit einfacheren Argumenten anzubieten (was darauf hinweist, wie begrenzt mein Wissen zu diesem Thema ist).

EDIT: Kleine Korrektur der Dimension.

Nach dem Hauptsatz der Verbundenheit in der allgemeinen Topologie bewahren kontinuierliche Karten die Verbundenheit. Die Zeitentwicklung von Hamiltonschen Systemen bewahrt die Verbundenheit, weil sie kontinuierlich ist. Ich denke, es ist unabhängig von Liouvilles Theorem, es erfordert nur den Beweis, dass die Hamiltonsche Zeitentwicklung kontinuierlich ist.

Dies ist nur eine formelle Art, die Antwort von @StevenMathey zu wiederholen.

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Der Satz von Liouville besagt, dass die Zeitentwicklung von Hamiltonschen Systemen volumenerhaltend ist. Volumenerhalt und Kontinuität sind unabhängige Eigenschaften.

Betrachten Sie diese einfachen nicht-Hamiltonschen Systeme:

$$\begin{align} & && \text{volume preserving} && \text{continuous} \\ \dot{q} &= sgn(q) && + && -\\ \dot{q} &= -q && - && + \end{align}$$ Da es sich um Systeme 1. Ordnung handelt, können Kontinuität und Volumenerhaltung einfach bezüglich des Konfigurationsraums oder bezüglich des Phasenraums wie bei Hamilton-Systemen beurteilt werden.

Ich kann nichts beweisen. Ich hoffe, dass dieses mit der Hand winkende Argument für Sie zufriedenstellend ist.

Die Hamiltonsche Dynamik ist ein kontinuierlicher Prozess. Zwei benachbarte Punkte des Phasenraums können sich nur kontinuierlich voneinander entfernen. Es gibt keinen plötzlichen Sprung.

Der Phasenraum kann nicht durch eine endliche Zeitentwicklung in ein disjunktes Ensemble geteilt werden, denn wenn dies der Fall wäre, gäbe es eine Grenze zwischen den disjunkten Bereichen. Dies ist nur möglich, wenn diese Grenze bereits in den Anfangsbedingungen vorhanden ist.

Stellen Sie sich vor, Sie haben einen einzigen abgeschlossenen Satz von Anfangsbedingungen im Phasenraum. Wenn diese Menge irgendwann in zwei Teile gebrochen wurde, dann muss sie einige Punkte enthalten, die auf der einen Seite und einige Punkte auf der anderen Seite verlaufen, obwohl sie zu Beginn der Zeitentwicklung unendlich nahe beieinander liegen. Dies impliziert, dass Sie irgendwann einen diskontinuierlichen Sprung haben.

ANMERKUNG. Vielleicht habe ich die Frage falsch interpretiert. Ich interpretierte es so, als würde es sich auf das Gesamtvolumen des Phasenraums beziehen.

Die Antwort ist negativ , wenn die Frage allgemeine zeitliche Änderungen der Topologie des gesamten Phasenraums betrifft und wenn Sie der Topologie der Räume keine generische Einschränkung wie Kompaktheit auferlegen (siehe den letzten Kommentar). Dies liegt an grundlegenden Tatsachen, die viel elementarer sind als das Liouville-Theorem.

Betrachten Sie die folgende Situation: Ein Teilchen, das frei ist, abgesehen von der Tatsache, dass es gezwungen ist, auf der reibungsfreien Kurve zu bleiben, die durch den Schnitt eines Kegels und einer Ebene erhalten wird, deren Steigung entlang einem bekannten Gesetz von der Zeit abhängt. Diese Kurve geht in einem endlichen Zeitablauf von einem Kreis zu einer Hyperbel über und ändert ihre Topologie. Es gibt keine Schwierigkeiten bei der Übersetzung dieses Problems von der Newtonschen Mechanik in die Lagrangesche Mechanik, wobei lokale Koordinatenrahmen übernommen werden, die einen Atlas auf einer Mannigfaltigkeit definieren, die a ist$2D$mannigfaltig blätterte über der Zeitachse$\mathbb R$, Ich meine$\cup_{t \in \mathbb R}Q_t$, wo jedes Blatt$Q_t$ist der Konfigurationsraum zur Zeit$t$(dieser Gesamtverteiler ist kein Faserbündel über$\mathbb R$da die Blätter folglich nicht diffeomorph sind und es sich nicht um ein lokales kartesisches Produkt handelt). Der Punkt ist, dass die Änderung der Topologie im Unendlichen stattfindet: Der Kreis$Q_t$wird größer und größer als$t$steigt und für eine gewisse Zeit$t_0$, wird es zu einer Linie diffeomorph. Darüber hinaus kann in diesem Modell keine Anfangsbedingung für einen Punkt auf der Kurve eine Bewegung erzeugen, die in einem endlichen Zeitablauf die Unendlichkeit erreicht, wo die Änderung der Topologie stattfindet. So kann niemand die Änderung der Topologie sehen. (Dies hängt stark von der Dynamik ab, es dürfen keine Sprenglösungen zugelassen werden.)

Da der Übergang von der Newtonschen Mechanik zur Lagrange-Mechanik in lokalen Koordinaten erfolgt, ist es kein Problem, die Lagrange-Funktion des Teilchens in lokalen Koordinaten aufzuschreiben$t,q$. Die Raumzeit von Konfigurationen,$stQ$, existiert als glatte Mannigfaltigkeit durch den Raum der Konfigurationen$Q_t$(Das ist eine glatte eingebettete Untermannigfaltigkeit von$stQ$für jedes Mal) ändert die Topologie in der Zeit.

Der Ortsvektor im Physischen$3$-Raum ist$\vec{x}= \vec{x}(t,q)$wo das Aussehen von$t$ is due to the fact that the constraint change its form in time. This Lagrangian has always the form

$$L(t, q, \dot{q})= \frac{1}{2} m\vec{v}^2= \frac{m}{2} \frac{\partial \vec{x}}{\partial q}\cdot \frac{\partial \vec{x}}{\partial q} \dot{q}^2 + m \frac{\partial \vec{x}}{\partial q}\cdot \frac{\partial \vec{x}}{\partial t} \dot{q} + \frac{m}{2} \frac{\partial \vec{x}}{\partial t}\cdot \frac{\partial \vec{x}}{\partial t}\:.$$ This Lagrangian is defined on a manifold which has the form $\cup_{t \in \mathbb R} Q_t \times \mathbb R$ (the last factor is the domain of $\dot q$). The topology of the sections labeled by $t$ changes in time as, again, the first homotopy group passes from $\mathbb Z$ to $1$. Since the quadratic form $\frac{m}{2} \frac{\partial \vec{x}}{\partial q}\cdot \frac{\partial \vec{x}}{\partial q}$ is non-degenerate, the Legendre transformation is well-defined: $$p = \frac{\partial \vec{x}}{\partial q}\cdot \frac{\partial \vec{x}}{\partial q} \dot{q}$$ and the Hamiltonian approach can be implemented. Each local coordinate patch $t,q, \dot{q}$ gives rise to a local coordinate patch $t,q,p$. The overall manifold, the spacetime of phases $stF$ is again of the form $\cup_{t \in \mathbb R} Q_t \times \mathbb R$ (the last factor is now the domain of $p$). As before, the topology of each space of phases $F_t = Q_t \times \mathbb R$ changes in time because, again, the first homotopy group passes from $\mathbb Z$ to $1$.

By means of a similar argument i think one could pass form a connected configuration space to a non-connected one so that the space of phases similarly passes from a connected topology to a disconnected one. Think of a free point except for the fact that it is constrained to stay on a frictionless curve $Q_t$ of the form $\subset \hskip -3pt \supset$ whose length (I mean distance from $\subset$ and $\supset$) increases in time becoming infinite in a finite lapse of time, from then on the curve separates into a pair of parallel lines. This can be described as before in a smooth spacetime of configurations of the form $\cup_{t \in \mathbb R} Q_t$.

If the space of phases $F_t$ is compact for every $t$, then no changes of topology are permitted at all. This is because compactness permits to write a global Hamiltonian flow on a sufficiently small interval $(t_0-\epsilon, t_0+\epsilon)$ of time around each fixed time $t_0$. In other words, there is a diffeomorphism $\phi : F_\tau \to F_{\tau'}$Wenn$\tau,\tau'\in (t_0-\epsilon, t_0+\epsilon)$. Da Diffeomorphismen Homöomorphismen sind, ist die Topologie von$F_\tau$Und$F_{\tau'}$müssen zusammenfallen. Es ist klar, dass dieses Argument, Intervalle wie Akkumulation$(t_0-\epsilon, t_0+\epsilon)$, impliziert, dass die Topologie von$F_\tau$Und$F_{\tau'}$muss bei jeder Wahl übereinstimmen$\tau,\tau' \in \mathbb R$.