Satz von Liouville. Richtig oder falsch?

In meinem Quantentheoriekurs gibt es eine Frage, um zu überprüfen, ob die Erwartungen in der Quantentheorie und der klassischen Liouville-Theorie identisch sind.

Hier ist die Originalversion:

„Nehmen Sie an, das System ist klassisch, aber Ihr anfängliches Wissen über das System wird durch eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion beschrieben$\rho$( q,p,t ). Verwenden Sie die Liouville-Gleichung, um ein Paar Differentialgleichungen zu erhalten, die die zeitliche Entwicklung der klassischen Erwartungswerte beschreiben.

$$\langle q\rangle=\int dq \int dp\,\rho(p,q,t)q\quad\langle p\rangle=\int dq\int dp \,\rho(p,q,t)p$$ Was bedeutet abzuleiten: $$\frac{d}{dt}\langle q\rangle=\langle p\rangle\quad \frac{d}{dt}\langle p\rangle=\langle F\rangle$$ mit $$\frac{dq}{dt}=p \quad \frac{dp}{dt}=F$$ Und $$\frac{d\rho}{dt}=0\quad(\text{By Liouville's Thm})$$ wie bekannt.

Allerdings wird man ein Problem haben:

Beachte das:

$$\frac{d}{dt}\int f(x,t)\,dx =\int \frac{\partial f(x,t)}{\partial t}\, dx$$ nicht $$\frac{d}{dt}\int f(x,t)\,dx =\int \frac{d f(x,t)}{dt}\, dx$$ Man erhält: $$\frac{d\langle q\rangle}{dt}=\frac{d}{dt}\int dq \int dp\,\rho(p,q,t)q=\int dq \int dp\,\frac{\partial}{\partial t}(\rho(p,q,t)q)\neq \int dq \int dp\,\frac{d}{d t}(\rho(p,q,t)q)$$ Letzteres ist jedoch zu erwarten.

Was ist hier falsch?