Gibt es eine Beziehung zwischen Poisson-Klammern und der Jacobi-Matrix?

Question

Gibt es eine Beziehung zwischen Poisson-Klammern und der Jacobi-Matrix?

Amarnath

Die Poisson-Klammern für $u,v$ kann geschrieben werden als

\frac{\partial u}{\partial Q} \frac{\partial v}{\partial P} - \frac{\partial u}{\partial P} \frac{\partial v}{\partial Q} .

$\frac{\partial u}{\partial q} \frac{\partial v}{\partial p} - \frac{\partial u}{\partial p}\frac{\partial v}{\partial q}.$

Wir können dies als Determinante dieser Matrix schreiben

[\begin{matrix} \frac{\partial u}{\partial Q} & \frac{\partial u}{\partial P} \\ \frac{\partial v}{\partial Q} & \frac{\partial v}{\partial P} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial q} & \frac{\partial u}{\partial p} \\\frac{\partial v}{\partial q} & \frac{\partial v}{\partial p} \end{bmatrix}$

Das ist die Jacobi-Matrix.

Gibt es eine Beziehung zwischen ihnen?

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Gibt es eine Beziehung zwischen Poisson-Klammern und der Jacobi-Matrix?

QMechaniker · Answer 1

Für einen zweidimensionalen Phasenraum sind sie gleich.
Allgemeiner für a $2n$ -dimensionale symplektische Mannigfaltigkeit $(M;\omega)$ mit symplektischer Zweierform
$\begin{matrix} (1) & ω = \frac{1}{2} D z^{ICH} ω_{ICH J} \land D z^{J}, ω_{ICH J} = - ω_{J ICH}, \end{matrix}$ $\tag{1} \omega~=~\frac{1}{2} dz^I ~\omega_{IJ} \wedge dz^J, \qquad \omega_{IJ}~=~-\omega_{JI},$ die Poisson-Klammer ist gegeben durch $\begin{matrix} (2) & {F, G}_{P B} = \frac{\partial F}{\partial z^{ICH}} π^{ICH J} \frac{\partial G}{\partial z^{J}}, π^{ICH J} := (ω^{- 1})^{ICH J} . \end{matrix}$ $\tag{2} \{f,g\}_{PB}~=~\frac{\partial f}{\partial z^I}\pi^{IJ} \frac{\partial g}{\partial z^J}, \qquad \pi^{IJ} ~:=~(\omega^{-1})^{IJ} .$ Siehe auch zB diesen und diesen Phys.SE-Beitrag.
Die kanonische Bandform auf $(M;\omega)$
$\begin{matrix} (3) & Ω = ω^{N} = ρ D z^{1} \land \dots \land D z^{2 N}, \end{matrix}$ $\tag{3} \Omega~=~\omega^n~=~\rho~ dz^1\wedge \ldots \wedge dz^{2n},$ ist der $n$ Äußere Potenz der symplektischen Zweierform $\omega$ , mit Volumendichte $\begin{matrix} (4) & ρ = P F (ω_{ICH J}) \end{matrix}$ $\tag{4} \rho~=~{\rm Pf}(\omega_{IJ})$ gegeben durch den Pfaffian , der eine Quadratwurzel der Determinante ist. Dies hängt eng mit dem Satz von Liouville zusammen .

Gibt es eine Beziehung zwischen Poisson-Klammern und der Jacobi-Matrix?

Amarnath

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