Wie funktioniert eine Legendre-Transformation H→LH→LH\to L in nicht-kanonischen Koordinaten?

Lassen H ( z ) ein Hamiltonian sein und ω ich J die symplektische Form auf dem Phasenraum und ω ich J seine Umkehrung ω ich J ω J k = δ ich k . Wir wissen, dass die Hamilton-Gleichungen dann gegeben sind als

z ˙ ich = ω ich J ∂ J H
In kanonischen Koordinaten z → P ich , Q J wir haben einfach
ω ich J = ( 0 − 1 1 0 )
und damit die übliche Koordinatenform der Hamilton-Gleichungen und der Legendre-Transformation
L = P ich ∂ H ∂ P ich − H ( P , Q )
Es gibt jedoch Systeme (ein Beispiel wäre ein Hamilton-Operator für Kreisel), in denen ω ich J kann nicht global in die oben angegebene kanonische Form gebracht werden. Wie führt man dann eine Legendre-Transformation durch?

Mit anderen Worten: Gibt es eine geschlossene allgemeine Formel für eine Lagrange-Funktion? L bezüglich H , allgemeine Phasenraumkoordinaten z , und die symplektische Form ω ich J ?

Um etwas Kontext hinzuzufügen: Was ich eigentlich möchte, ist, die Aktion auf den Phasenraum zu schreiben

S [ z ( T ) ] = ∫ P ich Q ˙ ich − H ( P , Q ) D T ,
Wo Q ˙ ich ist nicht in Form von Phasenraumvariablen gegeben. Dies ist dann nützlich für den Variationsansatz zur symplektischen Struktur, wie z. B. von Marsden et al. diskutiert. (1986) .

Auf den ersten Blick vermute ich, dass Sie dies im Allgemeinen nicht tun können: Die Legendre-Transformation macht nur Sinn, wenn Sie einen Satz von Impulsvariablen unterschieden haben, was möglicherweise nicht global möglich ist, wenn Ihre Mannigfaltigkeit kein Kotangensbündel ist
In welche Richtung wollen Sie die Legendre-Transformation? Von Lagrange zu Hamilton oder umgekehrt?
@Qmechanic Ich habe die Aussage der Frage jetzt klarer gemacht, die Richtung ist H → L .

Antworten (1)

  1. Angenommen 2 N -dimensionale symplektische Mannigfaltigkeit ( M , ω ) ,

    (1) D ω   =   0
    mit global definierter Hamilton-Funktion H : M → R .

  2. Beachten Sie, dass es keine eindeutige Vorstellung von Positions- und Impulsvariablen gibt, nicht einmal lokal. Die inverse Legendre-Transformation vom Hamilton- zum Lagrange-Formalismus ist also kein eindeutiger oder wohldefinierter Begriff. Es besteht jedoch keine Notwendigkeit, eine inverse Legendre-Transformation durchzuführen: Wir können immer noch eine Hamilton-Aktion konstruieren, wie in meiner Phys.SE-Antwort hier gezeigt . Hier wiederholen wir nur die Hauptaktionsformel (4).

  3. Lokal in einer kontrahierbaren Nachbarschaft mit offenen Koordinaten U ⊆ M es existiert eine symplektische Potential-1-Form

    (2) ϑ   =   ∑ ICH = 1 2 N ϑ ICH   D z ICH   ∈   Γ ( T ∗ M | U ) ,
    so dass
    (3) ω | U   =   D ϑ .

  4. Weg gegeben γ ⊂ U . Definieren Sie die lokale Hamilton-Aktion

    (4) S U [ γ ]   :=   ∫ γ ( ϑ − H   D T )   =   ∫ T ich T F D T ( ∑ ICH = 1 2 N ϑ ICH   z ˙ ICH − H ) .

Wie funktioniert eine Legendre-Transformation H→LH→LH\to L in nicht-kanonischen Koordinaten?
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